第三章--函数的概念与性质

第三章函数的概念与性质3．1函数的概念及其表示3．1.1函数的概念知识点一函数的有关概念(一)教材梳理填空1．函数的概念函数的定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域函数值与x的值相对应的y值值域函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集[微思考](1)在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？(2)如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？提示：(1)确定，一一对应．(2)不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．3．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(1)只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．()(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．若f(x)＝x2－x＋1，则f(3)＝________.解析：f(3)＝9－3＋1＝9－2＝7.答案：73．函数f(x)＝14－x的定义域是________．解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域是{x|x4}．答案：{x|x4}4．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是________(填序号)．①f(x)＝x，g(x)＝x2x；②f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1；③f(x)＝x，g(x)＝3x3.解析：①中f(x)＝x与g(x)＝x2x的定义域不同，不是同一函数；②中f(x)＝2x＋1，g(t)＝2t＋1虽然自变量不同，但定义域和对应关系相同，是同一函数；③中f(x)＝x与g(x)＝3x3定义域相同对应关系也相同，是同一函数．答案：②③知识点二区间及相关概念(一)教材梳理填空1．区间的概念设a，b是两个实数，而且a＜b，我们规定：(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；(2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；(3)满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．2．区间的几何表示区间还可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.定义名称区间数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b)定义名称符号数轴表示{x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}－[a，＋∞){x|xa}－(a，＋∞){x|x≤b}－(－∞，b]{x|x＜b}－(－∞，b)(二)基本知能小试1．区间(0,1)等于()A．{0,1}B．{(0,1)}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0≤x≤1}答案：C2．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2x≤4}＝________；(3){x|x－1，且x≠2}＝________.答案：(1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)3．设A＝(－6,1]，B＝(－1,9]，则A∩B＝________.答案：(－1,1]题型一函数的概念[学透用活][典例1](1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是()A．M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y，其中y＝x2B．M＝{x|x0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝±2xC．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝x2D．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝2x[解析](1)①中，因为在集合M中当1x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.(2)对于A，M中的奇数在N中无元素与之对应y，不是x的函数；对于B，M中每个元素在N中都有两个不同元素与之对应，y不是x的函数；对于C，M中每个元素在N中都有唯一元素与之对应，y是x的函数；对于D，M中x＝0在N中没有元素对应，y不是x的函数，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．根据图形判断对应是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．[对点练清]1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝1x－2D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1解析：选BA错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．2．(多选)下列对应为函数的是()A．x→y＝13x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}B．x→y＝6－x，x∈{x|1＜x≤6}，y∈{y|0＜y≤5}C．t→s＝t2＋t＋1D．x→y＝±x，x∈{x|x＞0}，y∈{y|y≠0}解析：选AC对于A，符合函数的定义，所以是函数；对于B，当x＝6时，y＝0不在集合{y|0＜y≤5}中，不符合函数的定义，所以不是函数；对于C，符合函数的定义，所以是函数；对于D，对于x＞0，都有两个元素y＝±x与之对应，不符合函数的定义，所以不是函数．故选A、C.题型二已知函数解析式求定义域[学透用活][典例2]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝3－12x；(2)f(x)＝x＋10x＋2；(3)f(x)＝5－x|x|－3；(4)f(x)＝x＋1－x2－3x＋4.[解](1)函数f(x)＝3－12x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2＞0，即x＞－2，所以x＞－2且x≠－1.所以函数f(x)＝x＋10x＋2的定义域为{x|x＞－2且x≠－1}．(3)要使函数f(x)有意义，自变量x的取值必须满足5－x≥0，|x|－3≠0，解得x≤5，且x≠±3，所以函数f(x)＝5－x|x|－3的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数f(x)有意义，则x＋1≥0，－x2－3x＋40，即x≥－1，x＋4x－10，解不等式组得－1≤x1.因此函数f(x)的定义域为[－1,1)．[深化探究](1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2]，则函数f(x＋1)定义域是什么？已知f(x)的定义域如何求f(g(x))的定义域？提示：由1≤x＋1≤2，得0≤x≤1，由此得函数f(x＋1)定义域是[0,1]．已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围．(2)若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？已知f(g(x))的定义域如何求f(x)的定义域？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的取值范围[2,3]．已知f(g(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(g(x))中的x的取值范围为B，求g(x)的范围(值域)，即为f(x)的定义域．[方法技巧]求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[对点练清]1．函数f(x)＝xx－1的定义域为________．解析：要使xx－1有意义，需满足x≥0，x－1≠0，解得x≥0且x≠1，故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．答案：{x|x≥0且x≠1}2．函数y＝x＋26－2x－1的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足x＋2≥0，6－2x≥0，6－2x－1≠0，解得－2≤x≤3，且x≠52.答案：－2，52∪52，3题型三求函数的值、值域问题[学透用活][典例3](1)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，则f(2)＝________；g(f(2))＝________；g(a)＋g(0)(a≠－2)＝________.(2)求下列函数的值域：①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；③y＝2x＋1x－3；④y＝2x－x－1.[解析](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，又因为g(x)＝1x＋2，所以g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112，g(a)＋g(0)＝1a＋2＋12(a≠－2)．答案：101121a＋2＋12(2)①观察法：因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．②配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③分离常数法：y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，显然7x－3≠0，所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．④换元法：设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为158，＋∞.[方法技巧]1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域常用的4种方法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域分离常数法此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式