不等式高考复习总结和习题

不等式（11.7.12）一不等式和不等关系不等式的基本性质：(1)对称性：abba(2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,bdacdcba0,0(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且2.几个重要的不等式：(1)基本不等式：如果a,b是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba基本不等式的推广：当a、b为正数时,2221122abababab≥≥≥（当且仅当a=b时取=号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数(2)含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）3322ababab≥3333abcabc≥（0abc等式即可成立,0abcabc或时取等）;如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么33abcabc≥.（当且仅当a=b=c时取“=”号）(3)绝对值不等式123123(0)ababababaaaaaa⑴≤≤≥时,取等号⑵≤注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.历年真题分析：（考点：不等关系与不等式）1.(2008广东文)设Rba,，若0ba，则下列不等式中正确的是A．0abB.033baC.0abD.022ba2.(2007上海理科)已知,ab为非零实数，且ab，则下列命题成立的是A、22abB、22ababC、2211ababD、baab3.(06上海文)如果0,0ab，那么，下列不等式中正确的是A．11abB.abC.22abD.||||ab4.(2003京春文)设a，b，c，d∈R，且ab，cd，则下列结论中正确的是A.a+cb+dB.a－cb－dC.acbdD.cbda5．(1999上海理)若ab0，则下列结论中正确的命题是Aba11和||1||1ba均不能成立B.bba11和||1||1ba均不能成立C.不等式aba11和（a+b1）2（b+a1）2均不能成立D.不等式||1||1ba和（a+a1）2（b+b1）2均不能成立6.(06浙江理)“a＞b＞0”是“ab＜222ba”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件7.(2001京春)若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23D.2438.(2000全国)若a＞b＞1，P＝balglg，Q＝21（lga＋lgb），R＝lg（2ba），则（）A.R＜P＜QB.P＜Q＜RC.Q＜P＜RD.P＜R＜Q二不等式的证明常用不等式的证明方法比较法：作差—变形—判断—结论综合法：12nABBBB分析法：执果索因---从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题放缩法：a.添加或舍去一些项：2a+1|a|；n(n+1)n；b.将分子和分母放大或缩小：c．利用基本不等式：n(n+1)12nnd．利用常用规律：ⅰ.11112kkkkk；ⅱ.2211111111,1111kkkkkkkkkk（程度大）；ⅲ.22111111112111kkkkkk（程度小）e．数学归纳法2.不等式的解法(1)同解不等式：a.fxgx()()与fxFxgxFx()()()()同解b.mfxgx0，()()与mfxmgx()()同解，mfxgx0，()()与mfxmgx()()同解c.fxgx()()0与fxgxgx()()(()00同解(2)一元一次不等式的解法：axbaaa分()()()102030情况分别解之(3)一元二次不等式的解法axbxca200()或axbxca200()分a0及a0情况分别解之，还要注意bac24的三种情况，即0或0或0，需联系二次函数的图象。000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx(4)分式不等式)()(xgxf0f(x)·g(x)0，)()(xgxf≥00)(0)()(xgxgxf(5)①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2－axa(a0)，|x|ax2a2xa或x－a(a0)。一般地有：|f(x)|g(x)－g(x)f(x)g(x)，|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)。(6)指数不等式aafxgx()()分类讨论()()()11当时，afxgx()()()201当时，afxgx(7)对数不等式aNbNbalog(log)logloglogabbnmbbaanaabm001，，，等，log()log()aafxgx分类讨论(1)当a1时，gxfxgx()()()0(2)当01a时，fxfxgx()()()0历年真题分析：（考点一：一元二次不等式及其解法）1.(2007福建)“2x”是“260xx”的什么条件A．充分而不必要B．必要而不充分C．充要D．既不充分也不必要2.(2008江西文)不等式的解集为3.(2002京皖春)不等式组030122xxx的解集是A．｛x｜－1＜x＜1}B．｛x｜0＜x＜3}C．｛x｜0＜x＜1}D．｛x｜－1＜x＜3}4.(2009江苏)已知集合2540Axxx|≤，2|220Bxxaxa≤，若BA，求实数a的取值范围5.不等式（1＋x）（1－｜x｜）0的解集是A．｛x｜0≤x＜1}B.｛x｜x＜0且x≠－1}C．｛x｜－1＜x＜1}D.｛x｜x＜1且x≠－1}224122xx6.(2009北京)不等式组|22|330xxxxx的解集是A.｛x｜0＜x＜2}B.｛x｜0＜x＜2.5}C.｛x｜0＜x＜6}D.｛x｜0＜x＜3}7.不等式（31）82x＞3－2x的解集是8.(2006山东理)设f(x)=,2),1(log,2,221xxxttx则不等式f(x)2的解集为(A)（1，2）（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）（10，+∞）(D)（1，2）9.(07福建)已知()fx是R上的减函数，则满足1()(1)ffx的实数x的取值范围是A．(,1)B．(1,)C．(,0)(0,1)D．(,0)(1,)10.(07重庆理)若函数f(x)=1222aaxx的定义域为R，则a的取值范围为(考点二：基本不等式)1.(2007上海理)已知xy+R，，且14yx，则xy的最大值是则且,2,0,0baba2.(2008浙江文)已知，(A)21ab(B)21ab(C)222ba(D)322ba3.(2008江苏)已知,,xyzR，230xyz，则2yxz的最小值4.(07北京理科)如果正数abcd，，，满足4abcd，那么A．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值唯一B．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值唯一C．abcd≤，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一D．abcd≥，且等号成立时abcd，，，的取值不唯一5.(07上海理)已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为(考点三：绝对值不等式)1.(2008湖南文)“|x－1|＜2”是“x＜3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件2.(07北京15)记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．（I）若3a，求P；（II）若QP，求正数a的取值范围．(考点四：不等式的综合应用)1.(2008江苏模拟)如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.（Ⅰ）求x,y的关系式，并求x的取值范围；（Ⅱ）问x,y分别为多少时用料最省?2.(2006江苏模拟)某工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？(考点五：不等式的证明)1.(2010湖南)已知12121baba且－，－，求证221212ba2.(2007湖北理科)已知m，n为正整数.（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x-1时，(1+x)m≥1+mx；（Ⅱ）对于n≥6，已知21311nn，求证mnnm2131，m=1,1,2…，n；（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.3．(07上海理)已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若2fkk成立，则211fkk成立，下列命题成立的是A、若39f成立，则对于任意1k，均有2fkk成立B、若416f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立C、若749f成立，则对于任意的7k，均有2fkk成立D、若425f成立，则对于任意的4k，均有2fkk成立