中考数学复习专题--最值问题----垂线段最短解决最值问题

中考数学复习专题--最值问题----利用“垂线段最短”（解决最值问题）垂线段最短：【模型描述】：如图，已知直线外一点A和直线l上一动点B，求A,B之间距离的最小值，通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=𝟗𝟎°,AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点，若AD=5,AC=4，则DE的最小值为()．A.3B.4C.5D.6E┐B(2)如图，在△ABC中，AB=AC=𝟓,BC边上的高AD=4，若点P在边AC上(不含端点)移动，则BP长的最小值为。𝟐𝟒𝟓(3)如图，点A坐标为（−𝟐，0），点B在直线𝐲=𝒙−𝟒上运动，当线段AB最短时，求点B的坐标。BMEN解：过点A作AB⊥直线𝐲=𝒙−𝟒,垂足为点B.∴△𝐎𝐌𝐍为等腰直角三角形,OM=ON=4令直线𝐲=𝒙−𝟒与x轴交于点M，与y轴交于点N.则点M坐标为（𝟒，0），点N坐标为（𝟎，−𝟒），∴∠OMN=∠ONM=𝟒𝟓°,∴△𝐀𝐁𝐌为等腰直角三角形,且AM=𝟒−−𝟐=6过点B作BE⊥AM,垂足为点E.则AE=EM=𝟑.∴OE=OM−𝑬𝑴=4−𝟑=𝟏且△𝐁𝐄𝐌为等腰直角三角形,EM=EB=3∴点B坐标为（𝟏，−𝟑）“胡不归”模型【模型描述】：如图，已知∠MBN=30°，则sin∠MBN＝𝟏𝟐，点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA＋𝟏𝟐·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？“胡不归”问题即点P在直线BM上运动时的“PA＋k·PB(0k1)”型最值问题：（如：PA＋𝟏𝟐·PB）“胡不归”模型【模型描述】：如图，已知∠MBN=30°，则sin∠MBN＝𝟏𝟐，点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA＋𝟏𝟐·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？【解题思路】：本题的关键在于确定“𝟏𝟐·PB”，过点P作PQ⊥BN于点Q，则𝟏𝟐·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋𝟏𝟐·PB”的最小值转化为求“PA＋PQ”的最小值,∴当A、Q、P三点共线时，PA＋PQ的值最小，此时AQ⊥BN.(1).如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M为对角线BD(不与点B重合)上任意一点，则AM＋𝟏𝟐BM的最小值为________．3𝟑(1).如图，四边形ABCD是菱形，AB＝6，且∠ABC＝60°，M为对角线BD(不与点B重合)上任意一点，则AM＋𝟏𝟐BM的最小值为________．3𝟑【变式思考】(1)本题若要求“2AM＋BM”的最小值，你会吗？请求解．(2)本题若要求“AM＋BM＋CM”的最小值，你会吗？2AM＋BM=𝟐𝑨𝑴+𝟏𝟐𝑩𝑴=𝟐×𝟐𝟑=𝟔𝟑(2).如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－ax＋c的图象经过点A(－1，0)、B(0，−𝟑)、C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB＋PD的最小值为________．3𝟑𝟒PQ为了承建好2021年全运村，某园林公司设计了如图所示的花卉展览区域，其中AB=20m，∠ABC=90°，∠ACB=30°，点M在AB边上，AM=5m,其中C为入口，根据设计要求，观景台P在△ABC的内部且到M点的距离为10m，园林公司计划从入口C处沿CB修一段沥青路面CE，然后在E,P之间修建一段青石路面EP，游客可以沿CE→EP到达观景台，经预算，修建沥青路面CE的造价为500元/米，修建青石路面EP的造价为1000元/米，为节约成本,试求两段路面造价修建费用的最小值.（结果保留整数，参考数据3≈1.7）。本节课你的收获是什么？