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第1页，共13页高一数学必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》训练题(7)一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.设𝑝:𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥2+𝑚𝑥+1在(−∞,+∞)内单调递增，𝑞:𝑚43，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若关于x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−10的解集是{𝑥|1𝑥2}，则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−10的解集是()A.{𝑥|−1𝑥23}B.{𝑥|𝑥−1或𝑥23}C.{𝑥|−23𝑥1}D.{𝑥|𝑥−23或𝑥1}3.已知集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}，则∁𝑅(𝐴∪𝐵)=()A.[−2,1]B.[1,4]C.(−2,1)D.(−∞,4)4.已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+20}，则集合A的真子集个数为()A.3B.4C.7D.85.已知正实数x，y满足𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，若𝑥+𝑦≥𝑚恒成立，则实数m的取值范围为()A.(0,9)B.[0,9]C.(−∞,9)D.(−∞,9]6.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑥}，𝐵={𝑥|−1𝑥3}，则𝐴⋂𝐵=A.{𝑥|−1𝑥2}B.{𝑥|−1𝑥1}C.{𝑥|2𝑥3}D.{𝑥|1𝑥3}7.若方程𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚=0的两根都大于2，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−5)∪(−5,−4]B.(−∞,−4]C.(−∞,−2]D.(−5,−4]8.若𝑎𝑏0，𝑐∈𝑅，则下列不等式正确的是()A.𝑎2𝑏2B.1𝑎1𝑏C.𝑎𝑐2𝑏𝑐2D.𝑎−𝑏9.已知实数𝑎,𝑏满足52𝑎𝑏3，则下列不等式一定成立的是()A.𝑎3+15𝑏𝑏3+15𝑎B.𝑎3+15𝑏𝑏3+15𝑎C.𝑎3+15𝑏≥𝑏3+15𝑎D.𝑎3+15𝑏≤𝑏3+15𝑎10.设全集为𝐴={𝑥|1⩽log2 𝑥⩽3}，𝐵={𝑥|𝑥2−3𝑥−40}，则𝐴∩𝐵等于()A.(−1,2)B.(−1,8]C.[4,8]D.[2,4)11.已知𝑎=21.1，𝑏=30.3，𝑐=ln73，则()A.𝑏𝑎𝑐B.𝑎𝑏𝑐C.𝑏𝑐𝑎D.𝑎𝑐𝑏12.已知函数𝑓(𝑥)=3𝑥+5sin𝑥+2，若正实数a，b满足𝑓(1𝑎)+𝑓(2𝑏−1)=4，则3𝑎𝑎−1+4𝑏𝑏−2的最小值为()A.7B.7+2√3C.5+4√3D.7+4√313.在△𝐴𝐵𝐶中，D、E分别是边AC、AB的中点，若𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，则cos𝐴的最小值为()A.45B.34C.23D.12第2页，共13页二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）14.在△ABC中，𝐴=𝜋3，𝑏+𝑐=4，E，F为边BC的三等分点，则AE⃗⃗⃗⃗⃗⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为_________．15.已知正数x，y满足𝑥+2𝑦=4，则1𝑥+1𝑦的最小值______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知▵𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C满足sin𝐴−sin𝐵+sin𝐶sin𝐶=sin𝐵sin𝐴+sin𝐵−sin𝐶．(1)求角A．(2)若𝑎=3.求𝑏+𝑐的取值范围.17.在如图所示的平面图形中，∠𝐴𝐷𝐶=2𝜋3，𝐴𝐷=3，sin∠𝐵𝐶𝐷=23，3𝐵𝐷=4𝐵𝐶．(1)求∠𝐵𝐷𝐶的值;(2)若𝐵𝐷=√3，∠𝐴𝐸𝐵=𝜋3，求△𝐴𝐵𝐸面积的最大值．18.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑥,𝑔(𝑥)=𝑒𝑥ln𝑥(𝑒是自然对数的底数)．第3页，共13页(1)若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=1处的切线也是抛物线𝑦2=4(𝑥−1)的切线，求a的值；(2)若对于任意𝑥∈𝑅,𝑓(𝑥)0恒成立，试确定实数a的取值范围；(3)当𝑎=−1时，是否存在𝑥0∈(0,+∞)，使曲线𝐶:𝑦=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)在点𝑥=𝑥0处的切线斜率与𝑓(𝑥)在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的𝑥0的个数；若不存在，请说明理由．19.围建一个面积为360𝑚2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2𝑚的进出口，己知旧墙的维修费用为45元/𝑚，新墙的造价为180元/𝑚，设利用的旧墙的长度为𝑥𝑚，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(Ⅰ)将y表示为x的函数：(Ⅱ)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用°20.已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1=1，𝑎𝑛0，(𝑎𝑛+1+1)(𝑎𝑛+1−1)=4(𝑆𝑛+𝑛)．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=1√𝑆𝑛(𝑎𝑛+𝑎3)(𝑛∈𝐍∗)，𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有𝑇𝑛𝑚2020总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．第4页，共13页--------答案与解析--------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了充分与必要条件的判断，解题的关键是根据导数知识把函数的单调性与函数的导数联系一起．对函数求导，由𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增，可得𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立，从而可求m的取值范围，即可判断．【解答】解：对函数求导可得，𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥+𝑚，∵𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增，则𝑓′(𝑥)≥0在(−∞,+∞)上恒成立．即3𝑥2+4𝑥+𝑚≥0恒成立从而𝛥=16−12𝑚≤0∴𝑚≥43，当𝑞：𝑚43⇒𝑓′(𝑥)0，∴𝑓(𝑥)在(−∞,+∞)内单调递增；反之则不成立，故p是q的必要不充分条件，故选：B．2.答案：C解析：【分析】考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，是一道基础题．根据不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥−10的解集是{𝑥|1𝑥2}，求出a，b的值，从而解不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−10即可．【解答】解：因为𝑎𝑥2+𝑏𝑥−10的解集是 { 𝑥|1𝑥2}，根据一元二次不等式求解集的方法可得𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1=𝑎(𝑥−1)(𝑥−2)且𝑎0，解得𝑎=−12，𝑏=32．则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥−10变为3𝑥2−𝑥−20，解得：−23𝑥1，所以不等式的解集为{𝑥|−23𝑥1}，故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查并集，补集，及其运算，涉及一元二次不等式的解集，属于基础题．第5页，共13页由一元二次不等式的解法先化简集合B，先求并集，再取补集，从而得出结果．【解答】解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥−1≥0}={𝑥|𝑥⩾1}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑥−8≥0}={𝑥|𝑥⩾4或𝑥⩽−2}，所以𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥⩾1或𝑥⩽−2}，则𝐶𝑅(𝐴∪𝐵)=(−2,1)．故选C．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的真子集个数的判断，属于基础题先确定集合中元素的个数即可．【解答】解：因为集合𝐴={𝑥|𝑥∈𝑍|−𝑥2+𝑥+20}={𝑥∈𝑍|−1𝑥2}={0,1}，所以集合A的真子集的个数为22−1=3，故选A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了均值不等式及其应用.属于基础题．由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得4𝑥+1𝑦=1.由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(4𝑥+1𝑦)展开化简，应用均值不等式求最值．【解答】解:由𝑥+4𝑦−𝑥𝑦=0，得𝑥+4𝑦=𝑥𝑦，等式两边同时除以xy，得4𝑥+1𝑦=1．由均值不等式可得𝑥+𝑦=(𝑥+𝑦)(4𝑥+1𝑦)=4𝑦𝑥+𝑥𝑦+5≥2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦+5=9，当且仅当4𝑦𝑥=𝑥𝑦，即𝑥=2𝑦=6时，等号成立，所以𝑥+𝑦的最小值为9.因此𝑚≤9.故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了交集的运算，以及一元二次不等式，是基础题．解不等式得到集合A，再根据交集的定义计算，即可得到答案．【解答】解：𝐴={𝑥|𝑥2−2𝑥}={𝑥|−1𝑥2}，𝐵={𝑥|−1𝑥3}而𝐴∩𝐵={𝑥|2𝑥3}．第6页，共13页故选C．7.答案：D解析：【分析】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系及二次函数的性质，属于基础题．设𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚，由题意利用二次函数的性质求出m的范围．【解答】解：令𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑚−2)𝑥+5−𝑚，由题意可得{𝛥=(𝑚−2)2−4(5−𝑚)≥02−𝑚22𝑓(2)=4+(𝑚−2)×2+5−𝑚0,解得−5𝑚≤−4．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．利用不等式的基本性质即可判断出，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．【解答】解：对于选项A，∵𝑎𝑏0，∴−𝑎−𝑏0，∴𝑎2𝑏2，因此A不正确；对于选项B，∵𝑎𝑏0，∴𝑎𝑏0，∴𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏，即1𝑏1𝑎，所以B正确；对于选项C，当𝑐=0时，不等式不成立．因此C不正确；对于选项D，∵𝑎𝑏0，∴−𝑏0，∴𝑎−𝑏，故D不正确，故选B．9.答案：B解析：【分析】本题为比较大小的题目，考查根据题意构造函数、利用导数研究函数的单调性，题目为中档题．设𝑓(𝑥)=𝑥3−15𝑥，可得𝑓(𝑥)的单调递减区间为(−√5,√5)；𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−√5)，(√5,+∞)，由√552𝑎𝑏3，则𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)，问题可解．【解答】解：设𝑓(𝑥)=𝑥3−15𝑥，则𝑓′(𝑥)=3𝑥2−15=3(𝑥+√5)(𝑥−√5)．所以𝑓(𝑥)的单调递减区间为(−√5,√5)；𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−√5)，(√5,+∞)．若√552𝑎𝑏3，则𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)，即𝑎3−15𝑎𝑏3−15𝑏，即𝑎3+15𝑏𝑏3+15𝑎．故选B．第7页，共13页10.答案：D解析：【分析】本题考查集合的交集及不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．先求集合A，B，根据交集的定义即可解决．【解答】解：因为𝐴={𝑥|2⩽𝑥⩽8}，𝐵={𝑥|−1𝑥4}，所以𝐴∩𝐵={𝑥|2⩽𝑥4}．故选Ｄ．11.答案：B解析：【分析】本题考查利用指数函数与对数函数的性质比较大小，属于基础题目．利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可．【解答】解：由题意得：𝑎=21.1∈(2,4)，𝑏=30.3∈(1,√3)，𝑐=ln73ln𝑒=1．∴𝑎𝑏𝑐，故选：B．12.答案：D解析：【分析】本题考查函数奇偶性、利用基本不等式求最值，有一定难度．根据𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=4，可得1𝑎+2𝑏=1，变形𝑏=2𝑎𝑎−1，代入3𝑎𝑎−1+4𝑏𝑏−2，利用基本不等式可得最小值．【解答】解：，，∵正实数a，b满足𝑓(1𝑎)+𝑓(2𝑏−1)=4，∴1𝑎+2𝑏=1，∴𝑏=2𝑎𝑎−10，∴𝑎1，则3𝑎𝑎−1+4𝑏𝑏−2=7+3𝑎−1+8𝑏−2=7+3𝑎−1+82𝑎𝑎−1−2=7+3𝑎−1+4(𝑎−1)⩾7+4√3，当且仅当4(𝑎−1)=3𝑎−1即𝑎=1+√32时取等号，此时取得最小值7+4√