2.2椭圆同步练习及答案解析

2.2椭圆同步练测建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程是（）A.B.C.D.2．如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为（）A．54B.32C.22D.123．若AB是过椭圆22221xyab(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与坐标轴不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM•kBM=（）A．22caB.22baC．22cbD．22ab4．“-3m5”是“方程表示椭圆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（每小题5分，共10分）5.如果椭圆的离心率是，那么实数k的值为.6.已知点，是圆(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为．三、解答题(共70分)7.（15分）已知点A(－2,0)、B(2,0)，过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，求该椭圆的方程8.（20分）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C所截线段的长度9.（15分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为1F(1,0)，离心率为12.(1）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；（2）设过点1F的直线交椭圆C于,AB两点，若△PAB的面积为3613，求直线AB的方程10.（20分）已知椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的离心率e=22，左、右焦点分别为F1、F2，点P的坐标为(2，)，点F2在线段PF1的中垂线上．（1）求椭圆C的方程（2）（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为，，且+=，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标一、选择题1.D解析：由长轴长为12，离心率为，可得,所以.又焦点在轴上，所以椭圆的方程为.2.B解析：∵a=2b,22323,.2ccbbbea故选B.3.B解析：设A（x1，y1），M（x0，y0），则B（x1，y1），则kAM•kBM=22012201yyxx.∵A，M在椭圆上，∴2222001122221,1xyxyabab，两式相减，可得kAM•kBM=22ba，故选B．4.B解析：由方程表示椭圆知即-3m5且m≠1.故选B.二、填空题5.4或-解析：①当焦点在x轴上时，，，∴=k-10.∴k1且e====.解得k=4.②当焦点在y轴上时，=9，=k+80，∴=9-k-8=1-k0.∴-8k1且e====.解得k=-.6.解析：由题意可得.又，所以点的轨迹是椭圆，其中，,所以椭圆方程为.三、解答题7.解：易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．①又设椭圆方程为222214xyaa(a24)．②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故221kk＝1，解得k2＝13.将①代入②整理，得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝223aa，由题意有223aa＝2×45(a23)，求得a2＝8.经检验，此时∆0.故所求的椭圆方程为22184xy.8.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(xP，yP)，由已知得,5,4PPxxyy∵点P在圆上，∴x2＋2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.9.解：（1）由题意可知1c=，12ca，所以2a=.所以2223bac=-=.所以椭圆C的标准方程为22143xy，左顶点P的坐标是(2,0)-.(2）根据题意可设直线AB的方程为1xmy=+,1122(,),(,)AxyBxy,由可得22(34)690mymy++-=.所以∆223636(34)0,mm12122269,.3434myyyymm所以△PAB的面积21212121113422SPFyyyyyy2222236361812343434mmmmm.因为△PAB的面积为3613，所以22123413mm+=+.令21tm=+，则22(1)3113ttt=?+.解得116t=（舍去），22t=.所以3m=?.所以直线AB的方程为+310xy-=或310xy--=.10.解：（1）由椭圆C的离心率e=22，得22ca，其中c=22ab.∵椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)2=(3)2+(2-c)2，解得c=1，a2=2，b2=1.∴椭圆的方程为22x+y2=1．（2）由题意，知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m．由221,2xyykxm消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2421kmk，x1x2=222221mk，且2111FMkxmkx，222.1FNkxmkx由已知α+β=π，得220,FMFNkk即12120.11kxmkxmxx化简，得12122()()20,kxxmkxxm∴222224()220,2121mkmmkkmkk整理得m=2k．（3）∴直线MN的方程为y=k（x2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）