2-2-2-4习题课

2.2.2.4一、选择题1.12log612－log62等于()A．22B．122C.12D．3[答案]C[解析]12log612－log62＝12log612－12log62＝12log6122＝12log66＝12，故选C.2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是()A．y＝－log12(－x)B．y＝2＋x1－xC．y＝x2－1D．y＝－(x＋1)2[答案]B[解析]y＝－log12(－x)＝log2(－x)在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.3．(09·陕西文)设不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为()A．[0,1)B．(0,1)C．[0,1]D．(－1,0][答案]A[解析]由题意知M＝{x|0≤x≤1}，N＝{x|－1x1}，∴M∩N＝[0,1)，故选A.4．f(x)＝ax，g(x)＝－logbx且lga＋lgb＝0，a≠1，b≠1，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象()A．关于直线x＋y＝0对称B．关于直线x－y＝0对称C．关于y轴对称D．关于原点对称[答案]B[解析]∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，f(x)＝ax，g(x)＝－logbx＝－log1ax＝logax∴f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线x－y＝0对称．5．(2010·安徽理，2)若集合A＝xlog12x≥12，则∁RA＝()A．(－∞，0]∪22，＋∞B.22，＋∞C．(－∞，0]∪22＋∞D.22，＋∞[答案]A[解析]log12x≥12，∴0x≤22，∁RA＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A.6．(2010年延边州质检)函数y＝xax|x|(a1)的图象的大致形状是()[答案]C[解析]∵y＝xax|x|＝ax(x0)－1ax(x0)，∵a1，∴当x0时，y＝ax单增，排除B、D；当x0时，y＝－1ax单减，排除A，故选C.7．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．abcB．cabC．bacD．bca[答案]C[解析]∵x∈(e－1,1)，y＝lnx是增函数，∴－1lnx0，∵ln3x－lnx＝lnx(ln2x－1)0，∴ca，∵lnx－2lnx＝－lnx0，∴ab，∴cab.8．设A＝{x∈Z|2≤22－x8}，B＝{x∈R||log2x|1}，则A∩(∁RB)中元素个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]由2≤22－x8得，－1x≤1，∵x∈Z，∴x＝0,1，∴A＝{0,1}；由|log2x|1，得x2或0x12，∴∁RB＝{x|x≤0或12≤x≤2}，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．9．(09·全国Ⅰ)已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lgx(x0)，则f(1)＋g(1)＝()A．0B．1C．2D．4[答案]C[解析]∵g(1)＝1，f(x)与g(x)互为反函数，∴f(1)＝1，∴f(1)＋g(1)＝2.10．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝a，若a≤b；b，若ab，则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．[0，＋∞)[答案]C[解析]∵a*b＝a，若a≤b，b，若ab.而函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的大致图象如右图所示的实线部分，∴f(x)的值域为(－∞，0]．二、填空题11．若正整数m满足10m－1251210m，则m＝______.(其中lg2＝0.3010)[答案]155[解析]将已知不等式两边取常用对数，则m－1512lg2m，∵lg2＝0.3010，m∈Z＋，∴m＝155.12．若a＝log3π、b＝log76、c＝log20.8，则a、b、c按从小到大顺序用“”连接起来为________．[答案]cba[解析]a＝log3πlog33＝1，b＝log76log77＝1，log76log71＝0，c＝log20.8log21＝0∴cba13．函数f(x)＝|x－2|－1log2(x－1)的定义域为________．[答案][3，＋∞)[解析]要使函数有意义，须|x－2|－1≥0x－10x－1≠1，∴x≥3或x≤1x1x≠2，∴x≥3.14．已知loga121，那么a的取值范围是__________．[答案]0a12或a1[解析]当a1时，loga120成立，当0a1时，loga12logaa，∴12a0.三、解答题15．设A＝{x∈R|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax(a0，a≠1)的最大值比最小值大1，求a的值．[解析]a1时，y＝logax是增函数，logaπ－loga2＝1，即logaπ2＝1，得a＝π2.0a1时，y＝logax是减函数，loga2－logaπ＝1，即loga2π＝1，得a＝2π.综上可知a的值为π2或2π.16．已知f(x)＝loga1＋x1－x(a0且a≠1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断y＝f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)0的x的取值范围．[解析](1)依题意有1＋x1－x0，即(1＋x)(1－x)0，所以－1x1，所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f(x)为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝loga1－x1＋x＝loga(1＋x1－x)－1＝－loga1＋x1－x＝－f(x)，因此y＝f(x)为奇函数．(3)由f(x)0得，loga1＋x1－x0(a0，a≠1)，①当0a1时，由①可得01＋x1－x1，②解得－1x0；当a1时，由①知1＋x1－x1，③解此不等式得0x1.17．已知a、b、c是△ABC的三边，且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，判断△ABC的形状．[解析]∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝4－4lg10(c2－b2)a2＝0，∴lg10(c2－b2)a2＝1，∴10(c2－b2)a2＝10∴c2－b2＝a2即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．18．(1)计算：lg23－lg9＋lg10(lg27＋lg8－lg1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a、b满足条件ab1,3logab＋3logba＝10，求式子logab－logba的值．[分析](1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；(2)题设条件与待求式均为x＋y＝c1，x－y＝c2的形式，注意到x·y＝logab·logba＝1，可从x·y入手构造方程求解．[解析](1)lg0.3＝lg310＝lg3－lg10＝lg3－1，lg1.2＝lg1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1.lg23－lg9＋lg10＝lg23－2lg3＋1＝1－lg3，lg27＋lg8－lg1000＝32(lg3＋2lg2－1)，原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32.(2)解法1：∵logba·logab＝lgalgb·lgblga＝1，∴logba＝1logab.由logab＋logba＝103，得：logab＋1logab＝103.令t＝logab，∴t＋1t＝103，化简得3t2－10t＋3＝0，由ab1，知0t1，∴t＝13.∴logab－logba＝logab－1logab＝13－3＝－83.解法2：logab·logba＝lgblga·lgalgb＝1，∵3logab＋3logba＝10，∴9(logab＋logba)2＝100，∴log2ab＋log2ba＝1009－2＝829∴(logab－logba)2＝log2ab＋log2ba－2＝649.∵ab1，∴logab－logba0，∴logab－logba＝－83.