第三章数系的扩充与复数的引入单元试卷含答案详解

第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中：①若∈R，则(＋1)i是纯虚数；②若，∈R且，则＋＋；③若(－1)＋(＋3＋2)i是纯虚数，则实数＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A.①B.②C.③D.④2.若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．33．i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝（）A．－1B.1C.iD.i4.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝－1，b＝－1D．a＝1，b＝－15.设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－12D．126.复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A．25B．－25C．15D．－157.若＝(＋m＋1)＋(＋m－4)i，m∈R，＝3－2i，则m＝1是＝的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8.复数z＝1＋i，z－为z的共轭复数，则zz－－z－1＝()A．－2iB．－iC．iD．2i9.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋ai(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z对应的点不可能位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10.设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|＜2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若复数12iz（i为虚数单位），则zzz.12.已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．13.使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝.14.如果i(,,0)zababaR且是虚数，则222,,,,,,,,zzzzzzzzzz中是虚数的有_______个，是实数的有个，相等的有组新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三、解答题（本大题共5个小题，共44分.）15.（6分）证明：iizz＝1．16．（6分）若∈R，试确定是什么实数时，等式32－－1＝(10－－22)i成立．17.(10分)已知复数12zz，满足121zz，且122zz，求证：122zz．18．（10分）设是虚数，zz1是实数，且－12.(1)求||的值及的实部的取值范围；(2)设zzM11，求证：为纯虚数；（3）求2M的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答题纸得分：一、选择题题号12345678910答案二、填空题11．12．13.14.15.三、解答题16.17.18.19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2)答案一、选择题1.D解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A解析：(1＋z)·z＝z＋＝1＋i＋＝1＋i＋2i＝1＋3i.3.A解析:由复数性质知：i2＝－1，故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D解析：由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根据两复数相等的充要条件得a＝1，b＝－1.5.A解析:法一：因为1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.法二：因为1＋ai2－i＝ia－i2－i为纯虚数，所以a＝2.6.A解析：i1＋2i＝2＋i5，所以实部为25.7.A解析：因为z1＝z2，所以m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝1或m＝－2，所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．8.B解析：依题意得zz－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.9.B解析：由(1＋i)z＝1＋ai得z＝＝，设在复平面内z对应的点的坐标为(，)，则＝，＝.法一：易知－＝1，即复数z对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z对应的点在第一象限，则只要1，若在第二象限，需要0，且0，即－1且1，无解，故复数z对应的点不可能在第二象限．10.C解析：∵＝|cos2－sin2|＝|cos2|，且∈R，∴∈[0,1],∴＝[0,1]．在中，∈R且|－1i|2，∴|＋i|2，∴2＋12，解得－11，∴＝(－1,1)．∴∩＝[0,1)．二、填空题11.6-2i解析：因为12iz,所以1412izzz6-2i.121解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.13.3解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵2－(2－3m)i＜(2－4＋3)i＋10,且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,mmmmm解得10,=0=3,=3=1,mmmmm或或，∴3.当＝3时，原不等式成立．14.4,5,3解析：2,,,zzzz四个为虚数；22,,,,zzzzzz五个为实数；2,,zzzzzzz三组相等.三、解答题15.解法一：设z＝a＋bi(a,b∈R)，则iizz=iiiiabab=(1)i(1)iabab=2222(1)(1)abab=1.解法二：∵iz=i+z=-i+z，∴iizz=-iizz=-(i-)izz=1.16.解：由复数相等的充要条件，得3x2－a2x－1＝0，①10－x－2x2＝0.②由②得x＝2或x＝－52，代入①，得a＝11或a＝－715.17.证明：设复数12zz，在复平面上对应的点为1Z，2Z，由条件知121222zzzz，所以以1OZ，2OZ为邻边的平行四边形为正方形，而12zz在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122zz．18.（1）解：设＝＋i（，）,.因为是实数，0b,所以，即|z|＝1.因为＝2，－12，所以.所以的实部的取值范围（－1,21）.（2）证明：zzM11＝.（这里利用了（1）中122ba）因为（－1,21），0b，所以M为纯虚数.（3）解：2M112)1(12)1(22222aaaaaaaba3]11)1[(21212aaaa.因为（－1,21），所以＋10，所以2M2×2－3＝1.当＋1＝11a，即＝0时上式取等号，所以2M的最小值是1.19.证明：原方程化简为,设z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得R1)1(21)1)(1()1)(1(112222abibabibabiabiabiabiabiabia121a122ba)()(12222ibabbbaaabiabia0,bR根据上式可得整理得051282xx.方程无实数解.原方程在复数范围内无解.016