广东省北大附中深圳南山分校2012届高三上学期期末试题数学

广东省北大附中深圳南山分校2012届高三上学期期末试题数学(理科)2011.1.13参考公式：锥体的体积公式1V=Sh3，其中S为锥体的底面积，和h为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁UM)∩N=A.{4}B.{2，3，4，5}C.{1，3，4，5}D.Φ2.若复数z1=3+i，z2=2－i，则12zz在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在下列函数中，是奇函数的有几个①f(x)=sin(π－x)；②|x|f(x)=x；③f(x)=x3－x；④f(x)=2x+2-x.A.1个B.2个C.3个D.4个4.为了解地震灾区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg)，得到如图频率分布直方图.根据右图可知体重在[56.5，64.5)的学生人数有A.20人B.30人C.40人D.50人5.在2010年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入ξ(单位：元)服从正态分布N(3000，σ2)，且P(ξ1000)=0.1962，则P(3000≤ξ≤5000)=A.0.8038B.0.3038C.0.6076D.0.39246.1231(x)x展开式中的常数项为A.－1320B.1320C.－220D.2207.设m、n是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是A.若m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥βB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βD.若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n8.对于直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，定义运算P1P2=(x1，y1)(x2，y2)=(x1x2－y1y2，x1y2+x2y1)，若M是与原点O相异的点，且M(1，1)=N，则∠M0N＝A.1350B.450C.900D.600第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．．（一）必做题(9～13题)9.计算302x1dx=.10.若抛物线y2=2px的焦点与双曲线22yx=13的右焦点重合，则p的值为.第4题图11.设x，y满足约束条件y0xyx+y1，则z=2x+y的最大值为.12.将4本不同的书全部发给3名同学，每名同学至少有一本书的概率是.13.设f0(x)=cosx，f1(x)=f0＇(x)，f2(x)=f1＇(x)，…，fn+1(x)=fn＇(x)，n∈N*，则f2011(x)=.(二)选做题：(14~15题，考生只能从中选做一题．．．．．．．．．．)14.(坐标系与参数方程选讲选做题)圆C：x=1+cosθy=sinθ(θ为参数)的圆心到直线l：x=22+3ty=13t(t为参数)的距离为.15.(几何证明选讲选做题)如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CD___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数πf(x)=2sin(x+)2cosx6.(Ⅰ)若4sinx5，πx[π]2，，求函数f(x)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.17.(本小题满分12分)在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人(记为甲和乙)进行比赛，每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p0.5)，且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95.(Ⅰ)求实数p的值；(Ⅱ)如图为统计比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图.其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1.请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；(Ⅲ)设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ.DC输入a，b开始SSa,TTb结束第17题图？？YNNYn=n+1M=|S－T|n=0，S=O，T=O18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，设AE=x(0x2).(Ⅰ)证明：A1D⊥D1E；(Ⅱ)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；(Ⅲ)x为何值时，二面角D1-EC=D=的大小为450.19.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然对数的底数)，已知x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.(Ⅰ)求实数a和b的值；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)是否存在实数M，使方程f(x)=M有4个不同的实数根?若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知等差数列{an}中，a1=－1，前12项和S12=186．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足nan1b=()2，记数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式Tnm对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．21.(本小题满分14分)椭圆中心是原点O，它的短轴长为22，右焦点F(c，0)(c0)，它的长轴长为2a(ac0)，直线l：2ax=c与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．DCBA1EAB1(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；(Ⅱ)若OPOQ=0，求直线PQ的方程；(Ⅲ)设AP=λAQ(λ1)，过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：FM=λFQ．(命题人：南头中学万秉生审题人：区教研室罗诚)广东省北大附中深圳南山分校2011届高三上学期期末试题数学(理科)参考答案及评分标准2011.1.13一、选择题：（8×5＇=40＇）题号12345678答案AACCBCDB二、填空题：(6×5＇=30＇)9、6；10、4；11、2；12、49；13、sinx；14、2；15、245.三、解答题：（80＇）16.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵4sinx5，πx[π]2，，∴3cosx5，……2分又31f(x)=2(sinx+cosx)2cosx22……3分=3sinxcosx，……4分∴43f(x)=3+55.……6分(Ⅱ)πf(x)=3sinxcosx=2sin(x)6，……8分∴2πT==2π|ω|，……10分∵x∈R，∴π22sin(x)26，……11分所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．……12分17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束.有225p+(1p)=9.……2分解得2p3或1p3.……3分∵1p2，∴2p3.……4分(Ⅱ)程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6.……8分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填M1，第二个条件框填n5，或者第一、第二条件互换，都可以.(Ⅲ)依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6．……9分由已知5P(ξ=2)=9，13132220P(ξ=4)=Cp(1p)+C(1p)p=8116P(ξ=6)=1P(ξ=2)P(ξ=4)=81.……11分∴随机变量ζ的分布列为：ζ246P5920811681故52016266Eξ=2+4+6=9818181.……12分18.(本小题满分14分)解法一:(Ⅰ)证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D平面AA1DD1，∴A1D⊥AE，……1分AA1DD1为正方形，∴A1D⊥AD1，……2分又A1D∩AE=A，∴A1D⊥平面AD1E，……3分∴A1D⊥D1E.……4分(Ⅱ)设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，1AC=CD5，1AD2，故1ΔADC113S=25=222，而ΔACE11S=AEBC=22，……6分∴11D-AECΔAEC1ΔADC11V=SDD=Sh33，……8分即131h22，从而1h3，所以点E到面ACD1的距离为13.……9分(Ⅲ)过D作DH⊥CE于H，连D1H，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角，∴∠DHD1=450.……11分∵D1D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=300，……12分∴∠ECB=600，又BC=1，在Rt△EBC中，得EB3，……13分∴AE23，∴x23时，二面角D1-EC-D的大小为450.……14分解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0)，C(0，2，0)，……2分(Ⅰ)1DA(101)，，，1DE(1x1)，，，因为11DADE=(101)(1x1)=0，，，，，所以11DADE，……6分(Ⅱ)由E为AB的中点，有E(1，1，0)，从而1DE=(111)AC=(120)，，，，，，DCBA1EAB1C1D11AD(101)，，，设平面ACD1的法向量为n=(abc)，，，则1nAC=0nAD=0，也即a+2b=0a+c=0，得a=2ba=c，从而n=(212)，，，……8分所以点E到平面ACD1的距离为1|DEn|2121h=.33|n|……10分(Ⅲ)显然1DD是平面AECD的一个法向量.设平面D1EC的法向量为n=(abc)，，，∴CE=(1x20)，，，1DC=(021)，，，1DD=(001)，，，由1nDC=02bc=0a+b(x2)=0nCE=0，令b=1，∴c=2，a=2－x，∴n=(2x12)，，……12分依题意121|nDD|π222cos===422|n||DD|(x2)+5.∴1x23（不合题意，舍去），2x23.∴x23时，二面角D1-EC-D的大小为450.……14分19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)∵f′(x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx，……1分又x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.∴f′(－2)=f′(1)=0，……2分即6a+2b=03+3a+2b=0，解得1a3b1，……3分所以，1a3，b=－1.……4分(Ⅱ)∵1a3，b=－1，∴f′(x)=(x2+2x)ex-1－x2－2x=(x2+2x)(ex-1－1)，……5分令f′(x)=0，解得x1=－2，x2=0，x3=1，……6分∵当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′(x)0，当x∈(－2，0)∪(1，+∞)时，f′(x)0，……8分∴f(x)在区间(－2，0)和(1，+∞)上是单调递增的，在区间(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的.……9分(Ⅲ)由(Ⅰ)得2x1321f(x)=xexx3，由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值=f(0)=0，……10分函数的极小值为344f(x)=f(2)e3极小值＝，和1f(x)=f(1)3极小值＝……11分又3441e33，……12分f(－3)=(－3)2e-4+9－9=9e-40，f(3)=32e2－9－9=9(e2－2)0，……13分通过上面的分析可知，当1M(0)3，时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根．所以存在实数M，使方程f(x)=M有4个根，其M取值范围为1(0)3，.……14分20.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，∵a1=－