广东省高州市长坡中学2011届高三期末考试（数学理）

广东省高州市长坡中学2011届高三期末考试数学试题（理科）（全卷满分150分，用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合22,AxxxR，2|,12Byyxx，则RCAB等于（）Ａ．,0xxRxB．RC．0D．2．已知a，b都是实数，那么“22ba”是“ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数1()fxxx的图像关于（）A．y轴对称B．直线xy对称C．坐标原点对称D．直线xy对称4．已知平面向量(1,2)a，(2,)bm，且a//b，则23ab＝（）A．(5,10)B．(4,8)C．(3,6)D．(2,4)5．已知ABC△中，2a，3b，60B，那么角A等于（）A．135B．90C．45D．306．已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为2的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为2的偶函数7．设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa（）A．2B．4C．152D．1728．函数2()(1)1(1)fxxx的反函数为（）A．1()11(1)fxxxB．1()11(1)fxxxC．1()11(1)fxxx≥D．1()11(1)fxxx≥9．设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC（）A．9B．6C．4D．310．若0,0ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1byax，则以a,b为坐标点(,)Pab所形成的平面区域的面积等于（）A．12B．4C．1D．211．直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为（）A．1133yxB．113yxC．33yxD．113yx12．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2．则函数()(1)(2)fxxxx，22x，的最大值等于（其中“”和“－”仍为通常的乘法和减法）（）A．－1B．1C．6D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若3sin()25，则cos2_________．14．已知,,xyzR，230xyz，则2yxz的最小值．15．已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．16．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且cos3aB，sin4bA．（1）求边长a；（2）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．18．本小题满分12分）设22(1)log,(0,1)(1)aaxfxaaxa（）=求证：（1）过函数()yfx图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）(3)3f。19．（本小题满分12分）设{}na是公比大于1的等比数列，nS为数列{}na的前n项和．已知37S，DFByxAOE且123334aaa，，构成等差数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）令31ln12nnban，，，，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本小题满分12分）设函数1()(01)lnfxxxxx且（1）求函数()fx的单调区间；（2）已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围。21．（本小题满分14分）（如图）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)AB，，，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（1）若6EDDF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值．22．（本小题满分14分）设数列na满足3*110,1,,nnaacacnNc其中为实数（1）证明：[0,1]na对任意*nN成立的充分必要条件是[0,1]c；（2）设103c，证明：1*1(3),nnacnN;（3）设103c，证明：222*1221,13naaannNc．参考答案一、选择题1—12ADCBCDCBBCAC二、填空题13．72514．315．223144xy16．26.2nn三、解答题17．解：（1）由cos3aB与sin4bA两式相除，有：3coscoscoscot4sinsinsinaBaBbBBbAAbBb又通过cos3aB知：cos0B，则3cos5B，4sin5B，则5a．（2）由1sin2SacB，得到5c．由222cos2acbBac，解得：25b，最后1025l．18．解：（1）令t=xalog，则x=ta，f（x）=)(12ttaaaa（t∈R）∴f（x）=)(12xxaaaa（x∈R）设21xx，f（1x）－f（2x）=212121)1()1()(2xxxxxxaaaaaa·（1）a1时，…，f（1x）f（2x），∴f（x）在（－∞,+∞）上单调递增（2）0a1时，…，f（1x）f（2x），∴f（x）在（－∞,+∞）上单调递增∴1x2x时，恒有f（1x）f（2x），∴K=2121)()(xxxfxf0（2）f（3）=3112111)1()1()(12222224236332aaaaaaaaaaaaaaa·≥∵a0，a≠1∴221aa≠∴上述不等式不能取等号，∴f（x）3．19．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a．设数列{}na的公比为q，由22a，可得1322aaqq，．又37S，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，．由题意得12qq，．11a．故数列{}na的通项为12nna．（2）由于31ln12nnban，，，，由（1）得3312nna3ln23ln2nnbn又13ln2nnbb{}nb是等差数列．12nnTbbb1()2(3ln23ln2)23(1)ln2.2nnbbnnn故3(1)ln22nnnT．20．解（1）'22ln1(),lnxfxxx若'()0,fx则1xe列表如下：x1(0,)e1e1(,1)e(1,)'()fx+0--()fx单调增极大值1()fe单调减单调减（2）在12axx两边取对数,得1ln2lnaxx,由于01,x所以1ln2lnaxx（1）由（1）的结果可知,当(0,1)x时,1()()fxfee,为使（1）式对所有(0,1)x成立,当且仅当ln2ae,即ln2ae21．解答：DFByxAOE（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykxk．2分如图，设001122()()()DxkxExkxFxkx，，，，，，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk．①由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)77714xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk．所以221012714kk，化简得2242560kk，解得23k或38k．6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk．9分又2215AB，所以四边形AEBF的面积为121()2SABhh214(12)525(14)kk22(12)14kk22144214kkk22≤，当21k，即当12k时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分解法二：由题设，1BO，2AO．设11ykx，22ykx，由①得20x，210yy，故四边形AEBF的面积为BEFAEFSSS△△222xy9分222(2)xy22222244xyxy22222(4)xy≤22，当222xy时，上式取等号．所以S的最大值为22．12分解:（Ⅰ）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx即33axbxcaxbxc∴0c----------------------1分∵2'()3fxaxb的最小值为12，.12,0ba-----------3分又直线670xy的斜率为16因此，'(1)36fab------------5分∴2a，12b，0c．-------------6分（Ⅱ）3()212fxxx．2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)'()fx00()fx极大极小所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)．-----------9分∵(1)10f，(2)82f，(3)18f∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f．········12分22．解：（1）必要性：120,1aac∵∴，又2[0,1],011ac∵∴，即[0,1]c充分性：设[0,1]c，对*nN用数学归纳法证明[0,1]na当1n时，10[0,1]a．假设[0,1](1)kak则31111kkacaccc，且31110kkacacc1[0,1]ka∴，由数学归纳法知[0,1]na对所有*nN成立（2）设103c，当1n时，10a，结论成立当2n时，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa∵∴103C∵,由（1）知1[0,1]na，所以21113nnaa且110na113(1)nnaca∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac∴1*1(3)()nnacnN∴（3）设103c，当1n时，2120213ac，结论成立当2n时，由（2）知11(3)0nnac21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)nnnnnacccc∴222222112212[3(3)(3)]nnnaaaaanccc∴2(1(3))2111313ncnncc