选修4-1 相似三角形的判定

数学：（选修4-1）第一讲:相似三角形的判定及有关性质综合测试皮山县高级中学：艾沙江2011年5月30日选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题6分，共48分）1．在△ABC中，D、F是AB上的点，E、H是AC上的点，直线DE//FH//BC，且DE、FH将△ABC分成面积相等的三部分，若线段FH=65，则BC的长为（）A．15B．10C.6215D．15322．在△ABC中，DE//BC，DE交AB于D，交AC于E，且S△ADE：S四边形DBCE=1：2，则梯形的高与三角形的边BC上的高的比为（）A．1：2B．1：)12(C．1：)13(D．)13(：33．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=5，BC=8，则S△ACD：S△CBD为（）A．85B．6425C．3925D．89254．如图1—5—1，D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是（）A.29，16B.9，4C.29，8D.49，165．如图1—5—2，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：（1）∠B+∠DAC=90°；（2）∠B=∠DAC；（3）ABACADCD；（4）AB2=BD·BC。其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．如图1—5—3，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且31ACAD，AE=BE，则有（）A.△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD7．如图1—5—4，PQ//RS//AC，RS=6，PQ=9，SC31QC，则AB等于（）A.415B.436C.217D.58．如图1—5—5，平行四边形ABCD中，O1、O2、O3是BD的四等分点，连接AO1，并延长交BC于E，连接EO2，并延长交AD于F，则FDAD等于（）A．3：1B．3：1C．3：2D.7：39．如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形必是（）A．等腰三角形B.任意三角形C．直角三角形D．直角三角形或等腰三角形10．在△ABC和△A'B'C'中，AB：AC=A'B'：A'C'，∠B=∠B'，则这两个三角形（）A．相似，但不全等B．全等C．一定相似D．无法判断是否相似11．如图1—6—1，正方形ABCD中，E是AB上的任一点，作EF⊥BD于F，则BEEF为（）A．22B．21C．36D．2图1—6—112．如图1—6—2，把△ABC沿边AB平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若2AB，则此三角形移动的距离AA'是（）A．12B．22C．1D．21图1—6—213．如图1—6—3，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=32，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）图1—6—3A．24B．34C．4D．614．如图1—6—4，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对图1—6—415．在直角三角形中，斜边上的高为6cm，且把斜边分成3：2两段，则斜边上的中线的长为（）A.265cmB．64cmC．65cmD．325cm16．AD为Rt△ABC斜边BC上的高，作DE⊥AC于E，45ACAB，则EACE=（）A．2516B．54C．45D．162517．如图1—6—5，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，已知AB=m，BC=n，求CD的长。甲同学求得CD=m－n，乙同学求得mnCD2,下列判断正确的是（）A．甲、乙都正确B．甲正确、乙不正确C．甲不正确、乙正确D．甲、乙都不正确18．如图1—6—6，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3。如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（）A．1个B．2个C.3个D．4个二、填空题（每小题4分，共16分）19．直角三角形的三边成等差数列，则最小角的正弦值是__________________。20．如图1—5—6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC=_______________。21．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则此三角形的面积是____________________。22．在△ABC中，BD，CE分别为AC、AB边上的中线，M、N分别是BD，CE的中点，则MN：BC=_______________________。23．在△ABC中，DE//BC，D、E分别在AB、AC边上，若AD=1，DB=2，那么DEBCDE=_______________________。24．平行于△ABC的边AB的直线交CA于E，交CB于F，若直线EF把△ABC分成面积相等的两部分，则CE：CA=__________________。25．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与△ABC相似，则x=________________________。26．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，则CD=_______________________。三、计算题（本大题共86分）27．如图1—5—7，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为边向外作正方形ABDE，连接EC交AB于P点，过P作PQ//BC交AC于点Q。证明PQ=PB。28．如图1—5—8，已知DE//AB，EF//BC。求证：△DEF∽△ABC。29．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，S2△BCD=S△ABC·S△ADC。求证：BD=AC。30．如图1—5—9，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，在AD上取一点F，使21FDAF，连接FE交CB的延长线于H，交AC于G，求证AC51AG。34．如图1—5—10，已知AD是△ABC的中线，过△ABC的顶点C任作一直线分别交AB、AD于点F和点E，证明：AE·FB=2AF·ED。32．如图1—5—11，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c。点P是AB上一个动点（P与A、B不重合）。连接PC，过P作PQ//AC交BC于Q点。（1）如果a、b满足关系式a2+b2－12a－16b+100=0，c是不等式组21x63x24x31x2的最大整数解，试说明△ABC的形状。（2）在（1）的条件下，设AP=x，S△PCQ=y，求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围。33．如图1—6—7，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BE=AB,且AE与BD交于F点，求证：AFEFBCAB。34．如图1—6—8，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，找出图中两个相似的三角形，并给出证明。35．如图1—6—9，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证DF2=FG·FH。36．如图1—6—10，AP是△ABC的高，点D、G分别在AB、AC上，点E、F在BC上，四边形DEFG是矩形，AP=h，BC=a，（1）设DG=x，S矩形DEFG=y，试用a、h、x表示y；（2）按题设要求得到的无数个矩形中是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积和等于△ABC的面积？选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质综合测试【试题答案】一、选择题（每小题6分，共60分）1.A2.D3.B4.A解析：如图D—1—24所示，∵D、E、F分别为△ABC三边中点∴BC21//EF，∴ABCAEF且21BCEF∴9l,21BCEFllABCABCDEF∴29lDEF又4S,41BCEFSSDEF22ABCDEF∴16SABC故16S,29lABCDEF∴选A5.A解析：验证法：（1）不能判定△ABC为直角三角形∵∠B+∠DAC=90°，而∠B+∠DAB=90°，∴∠BAD=∠DAC同理∠B=∠C，不能判定∠BAD+∠DAC等于90°；（2）中∠B=∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC。∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在（3）中，ABACADCD可得△ACD∽△BAD，∴∠BAD=∠C，∠B=∠DAC，∴∠BAD+∠DAC=90°；（4）中AB2=BD·BC，即BCABABBD，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形。∴正确命题有3个选A。6.B解析：直接法。注意到∠A=∠C=60°可设AD=a，则AC=3a，而AB=AC=BC=3a所以AE=BE=a23，所以32a23aAEAD。又32a3a2BCCD，所以CBCDAEAD，∠A=∠C=60°，故△AED∽△CBD，选B。7.A8.B9.D10.D11.A12.C13.C解析：由∠B=∠D=90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD，它们的延长线交于E，则得到Rt△BCE和Rt△ADE由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，∴DE=AD=2，∴S△ADE=21×2×2=2.又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，4SSSS3S3232ADBCSSADEEBCABCDEDAEBC22EDAEBC四边形选C14.D解析：由AB//CD，可得△CGF∽△BGA，△ABE∽△FDE又由AD//BC，可得△CGF∽△DAF，△AED∽△GEB还可得△DAF∽△BGA，△ABD∽△CDB，故共有6对。15.A16.A17.A18.C解析：直接法。假设有一点P，连接PD、PC设AP=x，则PB=7－x图D—1—26（1）若△PAD∽△PBC，则BCPBADPA，即3x72x得7514x符合条件。（2）若△PAD∽△CBP，即06x7x,x732x2，解得6x,1x21也符合条件故满足条件的点P有3个。二、填空题（每小题4分，16分）19.53解析：设三边长a－d，a，a+d（d0），则（a+d）2=a2+（a－d）2，∴a=4d．∴三边之比为3：4：5．20.821.4822.1：423.424.2225.2解析：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC26.4解析：由△BAC∽△ADC可知CDACACBC三、解答题（本大题共74分）27.证明：∵PQ//BC，BC//AE，∴PQ//AE∴∠CPQ=∠CEA，∠CQP=∠CAE．∴△CPQ∽△CEA．∴CECPEAPQ同理可得CECPEDPB，EDPBAEPQ而AE=DE，∴PQ=PB．28.证明：∵DE//AB，∴OBOEOAODABDE①又∵EF//BC，∴OCOFOBOEBCEF②∴BCEFABDE由①②知OCOFOAOD，而∠FOD=∠COA，∴△FOD∽△COA，∴OAODACDF∴在△ABC和△DEF中，有ACDFBCEFABDE∴△ABC∽△DEF29.证明：如图D—1—25ADABBD,ADBDBDABCDADCDBDCDADCDABSSSS2ADCBDCBDCABC即由射影定理得，ABADAC2∴AC2=BD2，即AC=BD．30.证明：∵21FDAF，∴31ADAF，即31BCAF∵AE=EB，∠AEF=∠HEB，∠FAE=∠EBH∴△AFE≌△BHE，∴AF=BH，∴41CHAF∵△AGF∽△CGH，∴41CGAGCHAF∴51ACAG，即AC51AG31.证明：过D作DH//CF交AB于点H，则∠BDH=∠BCF，∠B=∠B，∴△BDH∽△BCF又D为BC的中点∴21BFBHBCBD∴BF21BH，即BF21FH同理可证△AEF∽△ADH