长沙市一中2011届高三第三次月考试卷理科数学命题人:长沙市一中高三数学备课组时量:120分钟满分:150分(集合、逻辑、算法、复数、函数、导数、三角函数、平面向量、数列)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1}Pxx,2{0}Qxxx,则下列结论正确的是()A.PQB.PQRC.PQD.QP2.若函数()fx的定义域为R,则“函数()fx为奇函数”是“函数()fx奇函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.已知函数()sin()(0)3fxx的最小正周期为,则该函数图象()A.关于直线6x对称B.关于直线3x对称C.关于点(6,0)对称D.关于点(3,0)对称4.如右图,设12,ee为互相垂直的单位向量,则向量ab可表示为()A.123eeB.1224eeC.213eeD.123ee5.设数列na,nb分别为等差数列与等比数列,且11444,1abab,则以下结论正确的是()A.22abB.33abC.55abD.66ab6.函数'()yfx是函数()yfx的导函数,且函数()yfx在点00(,())pxfx处的切线为000:()'()()(),()()()lygxfxxxfxFxfxgx,如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像如图所示,且0axb,那么()A.00'()0,Fxxx是()Fx的极大值点B.0'()Fx=00,xx是()Fx的极小值点C.00'()0,Fxxx不是()Fx极值点D.00'()0,Fxxx是()Fx极值点7.设O为△ABC内一点,若kR,有||||OAOBkBCOAOC,则△ABC的形状一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定8.已知函数()fx满足:①定义域为R;②xR,有(2)2()fxfx;③当[1,1]x时,()||1fxx.则方程4()log||fxx在区间[10,10]内的解个数是()A.20B.12C.11D.10选择题答题卡题号12345678答案二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.复数11izi的实部与虚部之和为.10.计算22sin2xdx.11.已知{na}是各项均为正数的等比数列,123aaa=5,789aaa=10,则456aaa=.12.已知函数2cos2000()31002000xxfxxx,则[(2010)]ff.13.设有算法如右图:如果输入A=144,B=39,则输出的结果是.14.设函数2()3fxxaxa,()2gxaxa.若0Rx,使得0()0fx与0()0gx同时成立,则实数a的取值范围是.yx123452131241204log||yx4log||yx15.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3,N(10)=5,….记()(1)(2)(3)(2)nSnNNNN.则(1)(4)S86.(2)()Sn.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知A,B,C三点的坐标分别为)0,3(A,)3,0(B,(cos,sin)C,其中3(,)22.(1)若ACBC,求角的值;(2)若1ACBC,求tan()4的值.17.(本小题满分12分)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinsincosABC,(1)求角A,B,C的大小;(2)若BC边上的中线AM的长为7,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.(1)设PBO,求y关于的函数关系式;(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?19.(本小题满分13分)已知2x是函数2(2),0(),0xxaxexfxbxx的极值点.(1)当0b时,讨论函数()fx的单调性;(2)当bR时,函数y()fxm有两个零点,求实数m的取值范围.OBCAP(第18题图)20.(本小题满分13分)设数列{}na是有穷等差数列,给出下面数表:1a2a3a……1nana第1行12aa23aa……1nnaa第2行………………第n行上表共有n行,其中第1行的n个数为123,,,,naaaa,从第二行起,每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为12,,,nbbb.(1)求证:数列12,,,nbbb成等比数列;(2)若21(1,2,,)kakkn,求和1nkkkab.21.(本小题满分13分)已知函数()fx的图象在[,]ab上连续不断,定义:1()min{()|}fxftatx([,])xab,2()max{()|}fxftatx([,])xab.其中,min{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最小值,max{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最大值.若存在最小正整数k,使得21()()()fxfxkxa对任意的[,]xab成立,则称函数()fx为[,]ab上的“k阶收缩函数”.(1)已知函数()2sin,[0,]2fxxx,试写出1()fx,2()fx的表达式,并判断()fx是否为[0,]2上的“k阶收缩函数”,如果是,请求对应的k的值;如果不是,请说明理由;(2)已知0b,函数32()3gxxx是[0,]b上的2阶收缩函数,求b的取值范围.理科数学教师用卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1}Pxx,2{0}Qxxx,则下列结论正确的是(C)A.PQB.PQRC.PQD.QP2.若函数()fx的定义域为R,则“函数()fx为奇函数”是“函数()fx奇函数”的(C)A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.已知函数()sin()(0)3fxx的最小正周期为,则该函数图象(D)A.关于直线6x对称B.关于直线3x对称C.关于点(6,0)对称D.关于点(3,0)对称【解析】由已知得,2,()sin(2),33fxxx所以当时,f(x)=0,故点,03是它的一个对称中心.4.如右图,设12,ee为互相垂直的单位向量,则向量ab可表示为(A)A.123eeB.1224eeC.213eeD.123ee5.设数列na,nb分别为等差数列与等比数列,且11444,1abab,则以下结论正确的是(A)A.22abB.33abC.55abD.66ab【解析】114,dqab设等差数列的公差为,等比数列公比为,由441ab,1,d得322q,于是322322,ab故选A6.函数'()yfx是函数()yfx的导函数,且函数()yfx在点00(,())pxfx处的切线为000:()'()()(),()()()lygxfxxxfxFxfxgx,如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像如图所示,且0axb,那么(B)A.00'()0,Fxxx是()Fx的极大值点B.0'()Fx=00,xx是()Fx的极小值点C.00'()0,Fxxx不是()Fx极值点D.00'()0,Fxxx是()Fx极值点7.设O为△ABC内一点,若kR,有||||OAOBkBCOAOC,则△ABC的形状一定是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【解析】由题设得,||||BAkBCAC,再由向量的几何意义易知,ACBC,故选B.8.已知函数()fx满足:①定义域为R;②xR,有(2)2()fxfx;③当[1,1]x时,()||1fxx.则方程4()log||fxx在区间[10,10]内的解个数是(C)A.20B.12C.11D.10【解析】(数形结合)在同一直角坐标内作出函数()fx和4log||yx的图象如右图,由图易知,()yfx与4log||yx的图象在[10,0]有两个交点,在(0,10]内有9个交点,故方程4()logfxx在区间[10,10]内共有11个解.选择题答题卡题号12345678答案CCDAABBC二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.复数11izi的实部与虚部之和为1.10.计算22sin2xdx8.11.已知{na}是各项均为正数的等比数列,123aaa=5,789aaa=10,则456aaa=52.【解析】由等比数列的性质知,123aaa,456aaa,789aaa成等比数列,所以45652aaa.12.已知函数2cos2000()31002000xxfxxx,则[(2010)]ff1.13.设有算法如右图:如果输入A=144,B=39,则输出的结果是3.【解析】(1)A=144,B=39,C=27;(2)A=39,B=27,C=12;yx123452131241204log||yx4log||yx(3)A=27,B=12,C=3;(4)A=12,B=3,C=0.所以A=3.14.设函数2()3fxxaxa,()2gxaxa.若0Rx,使得0()0fx与0()0gx同时成立,则实数a的取值范围是(7,+∞).【解析】由题设知,2430aa,即2a或6a,且()2gxaxa恒过定点2,0.①当6a时,如上左图,则6720aaf;③当2a时,如上右图,x对12a,又14f,显然不成立.综上知,a的取值范围为(7,).15.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3,N(10)=5,….记()(1)(2)(3)(2)nSnNNNN.则(1)(4)S86.(2)()Sn423n.【解析】由题设知,(2)(),(21)21NnNnNnn.(1)(4)[(1)(3)(5)(15)][(2)(4)(6)(16)],SNNNNNNNN[13515][(2)(4)(6)(16)]NNNN33323214(3)4(3)44(2)444(1)SSSS86.(2)()[135(21)][(2)(4)(6)(2)],nnSnNNNN11()4(1)(1),(1)1nSnSnnSN又,1210()42444413nnnnS.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知A,B,C三点的坐标分别为)0,3(A,)3,0(B,(cos,sin)C,其中3(,)22.(1)若ACBC,求角的值;(2)若1ACBC,求tan()4的值.【解析】(1)∵(cos3,sin)AC,(cos,sin3)BC,∴22||(cos3)sin106cosAC,||106sinBC.由||||ACBC得sincos.…………………………………4分又3