2010学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见

2010学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．{–1,3}；2．–125；3．y=2x，xR；4．21；5．10334；6．4；7．12；8．21；9．924；10．1,2，–3；11．①、④；12．187；13．1或45；14．167二、选择题15．A；16．B；17．C；18．C三、解答题19．解：∵S=21absinC，∴sinC=23，…………………………………………4分于是∠C=60o，或∠C=120o，……………………………………………………6分又c2=a2+b2–2abcosC………………………………………………………………8分当∠C=60o时，c2=a2+b2–ab，c=21…………………………………………10分当∠C=120o时，c2=a2+b2+ab，c=61．……………………………………………12分20．(1)向量a=(sinx,cosx)，向量b=(cosx,sinx)，xR，f(x)=a(a+b)=2a+ba=1+2sinxcosx=1+sin2x．…………………………………5分函数f(x)的最大值为2，最小值为0，最小正周期为；……………………………8分(2)由f(x)≥23得：sin2x≥21，………………………………………………………10分即2k+6≤2x≤2k+65，…………………………………………………………12分即k+12≤x≤k+125，kZ．………………………………………………………14分21．解：(1)sincosrbra；)0(tan22aabbar……(各3分)………………………6分(以上每组内只写出一个，给2分)(2)三角形式下的复数乘法的运算法则：z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]……10分三角形式下的复数除法的运算法则：)sini(cos)sini(cos22211121rrzz21rr[cos(θ1–θ2)+isin(θ1–θ2)](z2≠0)…………14分注意：z2≠0不写扣1分．22．(1)当n=1时，S1=b1，dab441=dddb4)3(1=b1，原式成立．……………………1分假设当n=k时，Sk=dabkk43成立，………………………………………………2分则Sk+1=Sk+bk+1=ddbabkkk4413…………………………………………………4分=ddbaaaakkkkk441321=ddbbakkk4411=ddabkk4)4(1=dabkk441……6分所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意nN*，都有Sn=dabnn43；……………8分(2)因为3a5=8a120，所以3a5=8(a5+7d)，a5=–556d0，所以d0又a16=a5+11d=–5d0，a17=a5+12d=54d0，………………………………………11分所以a1a2a3…a160a17a18…，b1b2b3…b140b17b18…，因为b15=a15a16a170，b16=a16a17a180，………………………………………………13分a15=a5+10d=–56d0，a18=a5+13d=59d0，所以a15–a18，所以b15–b16，b15+b160，……………………………………………15分故S16S14，所以Sn中S16最大．………………………………………………………16分23．(1)证明：因为21M，又41=2121，f(21)=1，所以f(41)=f(2121)=f(21)+f(21)=2[0,2]，所以41M，……………………………3分又因为f(81)=f(4121)=f(41)+f(21)=3[0,2]，所以81M；…………………………5分(2)因为y=f(x)在M上递减，所以y=f(x)在M有反函数y=f–1(x)，x[0,2]任取x1、x2[0,2]，设y1=f–1(x1)，y2=f–1(x2)，所以x1=f(y1)，x2=f(y2)(y1、y2M)因为x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2)，……………………………………………………………7分所以y1y2=f–1(x1+x2)，又y1y2=f–1(x1)f–1(x2)，所以：f–1(x1)•f–1(x2)=f–1(x1+x2)；……………………………………………………10分(3)因为y=f(x)在M上递减，所以f–1(x)在[0,2]上也递减，f–1(x2–x)•f–1(x–1)≤21等价于：f–1(x2–x+x–1)≤f–1(1)…………………………………11分112102022xxxx…………………………………………………………………………14分即：22312101xxxxx或或…………………………………………………………17分所以2≤x≤2…………………………………………………………………………18分