直线方程（教师用）

23．直线方程赣榆高级中学刘伟健关晓华1．函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为解：1sin1)sin1(sinsin1sin222224xxcoxxxxxy24cos14112sin4112xx242T2．若函数)sin(3)(xxf对任意实数x，都有)4()4(xfxf，则)4(f=解：由)4()4(xfxf得：)sin(3)(xxf关于4x对称，)4(f=33．在ABC△中，1tan4A，3tan5B．最大边的边长为17，则最小边的边长为．解：π()CAB，1345tantan()113145CAB．又0πC，3π4C．AB边最大，即17AB．又tantan0ABAB，，，，角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sincos1AAAAA，，且π02A，，得17sin17A．由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABC．所以最小边2BC．评述：本题考查了三角函数公式及三角形中的有关知识点。4．直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角范围是解析：设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－31cosα．又－1≤cosα≤1，∴－33≤tanθ≤33．∴θ∈［0，6π］∪［6π5，π）．5．已知两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，则a__2.解：两条直线12:330,:4610.laxylxy若12//ll，233a，则a2．6．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程解：设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0.在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0（0，21），点P0到直线5x－12y＋c＝0的距离为d＝136)12(5211222cc，由题意得136c＝2．所以c＝32或c＝－20．所以所求直线的方程为5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0．评述：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离．即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．7．一条直线经过点P（3，2），且与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）．则该直线方程为分析：可设直线方程为ax＋by＝1，（a＞0，b＞0），将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可．解：设直线方程为ax＋by＝1，（a＞0，b＞0），代入P（3，2），得a3＋b2＝1≥2ab6，得ab≥24，从而S△AOB＝21ab≥12，此时a3＝b2，∴k＝－ab＝－32．∴方程为2x＋3y－12＝0．评述：此题也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值．8．若由不等式组003yyxnmyx，)0(n确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在X轴上，则实数m=解：当三角形外接圆的圆心在X轴上时，三角形为直角三角形，即直线0nmyx与直线03yx互相垂直，33m。评述：本题综合了线性规划、三角形的外接圆、直线相互垂直知识点，有一定的思维量。9．光线从点)1,1(A出发，经y轴反射到圆4)7()5(:22yxC上的路程最短，则此时反射光线所在的直线方程为解：如图所示，)1,1(A关于x轴的对称点为)1,1(BYXC(5,7)B(-1,1)(1,1)A光线从点)1,1(A出发，经y轴反射到圆4)7()5(:22yxC上的路程最短时，反射光线所在直线即为直线BC：2xy评述：10．（四川理）设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为解：显然直线0x不满足题设条件，可设直线1222:2,,,,lykxAxyBxy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx∴12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000ABABOAOB∴12120OAOBxxyy又2121212122224yykxkxkxxkxx22223841144kkkk22114kk∵2223101144kkk，即24k∴22k故由①、②得322k或322k备用题：1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆074422yxyx相切，则光线L所在直线方程解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。由题设知对称圆的圆心C′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2kkd．整理得,01225122kk解得3443kk或．故所求的直线方程是)3(433xy，或)3(343xy，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0．2．2007广东卷）在平面直角坐标系xOy中，有一定点(21)A，，若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp的焦点，则该抛物线的准线方程是．解：直线OA的斜率为，OA的中点坐标为)21,1(，则OA的垂直平分线的斜率是2，OA的垂直平分线方程为)1(221xy，将抛物线的焦点坐标)0,2(p代入，易得452p，即抛物线的准线方程是45x。