浙江省杭州市初中数学教学论文-浅谈数学教学方法论在数学教学教学中的实践

1摘要：数学思想方法是对数学本质的认识，是数学知识的精髓。新课程下注重、加强数学思想方法教学是培养学生数学素养，形成良好思维品质的关键。而数学方法论给教师在数学教学中提供了理论指导，通过对它的学习有利于教师由“经验型教学”转向“理论指导下的自觉实践”，以数学思维方法的分析去带动和促进具体数学知识内容的教学。关键词：数学方法论思想方法数学教学数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创造等法则的一门新兴学科。①数学方法论很大程度上可以被说成对于数学思想（维）方法的研究，其目标就是帮助人们学会数学的思维。或者说，如何能够按照数学家的思维模式去进行思维。通过对具体数学事例的研究实现对真实思维过程的“理性重建”，获得各个方法论原则的深刻体会，并使之真正成为“可以理解的”“可以学到手的”和“能够加以推广应用的”。数学方法论对于数学教学的积极意义主要在于：以数学方法论为指导进行具体数学知识内容的教学有助于我们将数学课“讲活”“讲懂”“讲深”。②1问题的提出随着课程改革的进行，对于我们数学教学也提出了更高的要求。《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》在总体目标重明确要求学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学思想方法、数学活动经验）以及基本的数学思想法和必要的应用技能。”在基本理念中，也要求学生“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法……”③显然数学思想方法是数学教学目标的核心内容。因此，日常的数学教学中加强数学思想方法的渗透，培养数学的思维显得更加重要。首先，只有培养起比较完善的数学思想与数学方法,才能有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,有利于激发学生的学习兴趣,有利于提高学生学习的自觉性,才能把学生和教师从题海中解放出来,减轻教与学的过重负担。其次，数学是一个庞大的、有秩序的系统，对于从事初中数学教学的教师来讲，必须对数学的本质和方法有一个深入、全面的理解。这种对于数学的理解会影响到一个人的数学教学实践，进而影响到学生关于数学的理解、学习态度和应用等观念的形成。由此可见，无论从学生数学素养的培养方面和教师教学实践方面都需要教师精通数学方法论，只有熟知了这些方法论才能开展有效的数学课堂教学。2数学方法论对数学教学的意义22．1数学课程目标改革的必然要求目前数学课程改革，强调情感、态度、价值观，强调数学学习的“过程与方法”，强调探究与发现。在这种理念下，要使数学新课程改得以有效的实施，教师就必须加强和重视数学方法的学习和研究，只有掌握了数学方法论的教师，才能培养出具有创新能力的学生。一位老师曾说过这样一句话：“教师走多远，你的学生就能走多远。”如果没有一双明亮的眼睛，看不清前面的道路，是无法走得长远的，而数学方法论会帮我们擦亮数学智慧的眼睛。如果没有这方面的知识储备和良好的专业训练，将很难适应今天的数学课程改革。数学新课改的成败，关键在于教师。2．2数学课堂教学现代化的改革要求现在的数学课堂不在是单纯的“传授式”教学，在新课标中明确指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”③意在进一步改变数学的教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间，关注学生数学素养的提高。而且把“具有解决问题的能力”作为有“数学素养”的一个重要的标志。而数学方法论在教学实践中以“问题解决”为中心组织教学，强调“数学的思维”,把问题作为载体，将数学思维方法的分析渗透到具体数学知识内容的教学中，使学生真正看到思维的力量，并使之成为可以理解的、可以学到手的和能够加以推广应用的。这一教学理论为我们从更深的层次认识数学教学提供了理论依据，值得我们去深入学习研究。因此，为了让教师更好适应和驾驭课堂教学，必须掌握一定的数学方法论。2．3数学教师专业化发展的客观要求数学教师的专业发展，不仅要掌握深厚广博的数学基础，而且要了解数学发展的学科历史，掌握数学的思想方法，深刻领会数学的内在本质，理解数学的源与流，懂得其来龙去脉及数学的价值。对于从事数学教学的教师，不能不懂得数学发现的原理、规则和思想方法，它们能使我们在数学教学中更好地驾驭教材，把数学教学变得更为生动，教出方法、教出发现、教出创新。因此，数学方法论是数学教师专业发展及自身成长的必备知识。3数学方法论在数学教学中的实践案例在数学方法论中，重点阐述了观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等。如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。3．1数学方法论在解题教学中应用3必要的知识与知识的良好的组织是数学方法论中提及的四要素之一。记得数学大师波利亚曾说过：“良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛性更为重要。至少在有些情况下，知识太多可能反而成了累赘，可能会妨碍解题者看出一条简单的途径，而良好的组织则有利而无弊。”例如现在的初三复习很大程度上是通过解题教学来实现知识巩固，同时题目的综合性较强，需要学生对于题目有一个很好的认识。在教学中通常会碰到学生对于这类题目会无从下手，或解决问题的信心不够等现象。当然这里有学生对于题目理解上的原因，关键还是他们没有把自己的经验和知识良好的组织起来，必要的反思把知识方法归类。对于初三的学生知识容量应该是够的，但是他们的知识仓库比较零乱，当需要去解决某些问题的时候往往找不到对应的“工具”。所以在初三复习中的重点我们不是多讲几个题目、多做几个练习，而应通过典型例题理清知识体系，优化知识结构。为了让学生能形成良好的知识结构，教师在问题解决过程中应更多的暴露思维过程，通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验，启发他们形成新的理解、新的认识。因此数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导，教学中突出以问题为主线，启迪学生思考，使学生在课堂中深刻的感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程，理解和认识发生和发展的必然的因果关系，从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法，最终内化为自身知识结构的重要部分。案例1这是我在复习课上讲的一道习题。如图所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P.(1)当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想；(2)设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；(3)对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；若不存在，请说明理由.本例的难点是问题（2），很多同学都思路受阻，如何去表示这个阴影面积呢？因此教学中设CBDA图1PEFAD1BC1D2C2图3C2D2C1BD1A图24置了以下问题引导学生去分析、解决问题。（1）看清问题问1：不规则图形的面积计算，通常用什么方法？生1：（有所悟）割补法，转化为规则的图形。问2：这里有没有熟悉可计算的图形？生2：三角形，PFCBEDDBCSSSy1121或yEBDFADAPBSSS12问3：如何表示这些三角形的面积？还记得三角形面积的计算的方法吗？这样的问题，思维指向清晰，又明确的教学目标，确定阴影面积y应该如何表示。当然这里“结果”启发式的问题沿着教师事先设置好的“轨迹”前进，缺少了一定的开放性，但关键要看这样的“问”是否调动学生参与的积极性，是否符合学生的认知水平，同时要注意问题的层次性，有易到难，前两个问题的设置有助于增强学生解题的信心。问3在此题解决中起到关键作用，学生刚开始脑海里还没合适的求三角形面积的方法，容易联想到最熟悉的公式ahS21。问4：这些三角形的底能表示吗？高能表示吗？生4：底比较容易分别是xBDAD512，xAB10，52BD，xFC1,高比较麻烦？（2）绕过障碍问5：我们不求高可否直接求三角形的面积？你有好方法吗？生：三角形的面积计算通常用的方法还有sin21abS，还可以利用相似三角形的性质相似比的平方等于面积比。此问引起学生认知上冲突而促进他们更深入进行思考，引导他们从知识仓库中提取用的东西，从而产生一个好的思路。把求不规则图形的问题划归为学生熟悉的求三角形问题，有利学生调动头脑中储存的关于这类问题的各种知识。同时概括了三角形面积计算的三种方法，涉及了相似，解直角三角形等有关知识点，把原来相对孤立的知识点有效的串连起来，优化学生的知识体系。（3）解决问题带参数的问题，通常把给定参数作为已知量运用如本题中的x，表示出所需的未知量,特别注意其中相等的量。引导学生找到对应的相似三角形，尽可能多的表示出相关的线段。略解1。PFCBEDDBCSSSy1121易得21DBCS＝ABCS21=12∵xFC1FPC1∽ABC∴10021xSSABCFPC22561xSFPC5∵EBD1∽12CBD同理可得：2)5(25121xSEBD∴化简得)50(52425182xxxy略解2。yEBDFADAPBSSS12∵xAB10ABC∽ABP∴100)10(2xSSABCABPABPS＝2)10(256x同理可得：FADEBDSxS212)5(2512∴化简得)50(52425182xxxy这一环节学生顺着教师预设的“轨迹”到达了目的地，在这一过程中学生的知识结构得到了完善，使得他们通过对题目的重新认识，有了自己的思考和领悟。（4）回到起点题目解完后是否真正解决了这个问题呢？首先，在问题解决过程中学生的“疑”和教师假想的“疑”并不一定完全吻合，通过问题的回顾可对教学进行调整和优化。其次，学生的解题过程是在教师的“安排”下进行，思维有很大的直觉性和依赖性，可能顾及不到对自己思维过程进行分析、整理。所以解完后的总结反思就非常的必要。正是对于解题总结的重要性的认识，波利亚指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通过考察他的工作过程和最后的解答形式。他会发现要观察认识的东西真是千变万化，层出不穷。”④问6：解完后你对题目有没有新的发现和想法。生5：通过上面的解答我发现利用相似比可求出三角形的高，公式ahS21也可行。生6：RtABC的三边之比非常特殊3：4：5，因此与它相似的三角形都可以利用这一特性来计算，如RtABP，RtFPC1的面积都可以利用这一特性简化计算。生7：我发现刚才在计算EBDS1，FADS2可以把它们拼在一起就是一个RtABF(E和F重合)，而且它与RtABC相似，因此利用相似比和面积比的关系计算出它们的面积。生5，生6是在回顾解法后进一步理解了相似在求线段和面积的作用提出的一个解法，原先的障碍得到了解决，而生7是打破了原有思路的的束缚有了更为巧妙的解法，抓住不规则图形求面积的“割补”的原理。这是我没有想到的，有了他的启发下面的学生也有了更多的精彩的解答。生8：（如图3）连结EF,把原多边形分成平行四边形FEDD21和RtPFE,通过RtPFE∽RtABC可求出PFES，而平行四边形FEDD21的底是已知的，它的高就是三角形1AFD的高也可以用相似求得，因此平行四边形的面积也可求。6生9：平行四边形FEDD21面积可以这样求，连接21CC，2121DDCCS平行四边形=524x（高等于RtABC的高），平行四边形FEDD21与平行四边形2121DDCC的面积比为122:CDFD=5:)5(x，所以)5(252421xxSFEDD平行四边形。生10：有了他的启发RtPF