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1四年级竞赛班奥数等差数列求和2一、等差数列的基本知识3什么是数列？按一定规律排列的数是一列数，可以有限，可以无限1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、304认识数列•观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四项第三项第五项第十项首项末项项数5（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30（公差=1）（公差=2）（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。6二、等差数列的项7数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项+公差×1（2-1）第3项：5=1+2×2首项+公差×2（3-1）第4项：7=1+2×3首项+公差×3（4-1）第5项：9=1+2×4首项+公差×4（5-1）第6项：11=1+2×5首项+公差×5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列8等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项=2公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=2939等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项=2+3×（项数-1）规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。这个数列每1项除以3都余2。等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。10例2已知数列2、5、8、11、14、17……302，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。等差数列的项数=公差个数+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（302-2）÷3+1=10111小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+112练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？13练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；这个数列的项数=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25项=2+2×（25-1）=50；这个数列的项数=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30项=101+1×（30-1）=130；这个数列的项数=（199-101）÷1+1=994、它的第60项=7+5×（60-1）=302；这个数列各项被5除有相同的余数。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）14二、等差数列的和15例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6444444444444444444两数列之和=（6+38）×9解：原数列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198等差数列的和=（首项+末项）×项数÷216例：计算1+6+11+16+21+26+......+276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2？等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）原数列之和=（1+276）×56÷2=277×28=775617练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+9918练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3,项数=（37-7）÷3+1=11和=（7+37）×11÷2=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4，项数=（403-7）÷4+1=100和=（7+403）×100÷2=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10，项数=（99-9）÷10+1=10和=（9+99）×10÷2=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2，项数=（99-1）÷2+1=50和=（1+99）×50÷2=250019例1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-19520例计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)21例22例23例计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+124例计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19