三角形角平分线专题讲解

二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法图1-1OABDEFC图1-2ADBCEF来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE3．已知：在△ABC中，ABAC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC图1-3ABCDE图1-4ABCDE4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，则PD=（）A4B3C2D1图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图2-4BOAPDC2．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3．已知：如图2-5,∠BAC=∠CAD,ABAD，CE⊥AB，AE=21（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180。4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。5．已知：如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角图2-5ABDCE图2-6EABCDF图2-7FDCBAEH图示3-1ABCDHE图3-2DABEFC形。例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=21（AB+AC）分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=21EC，另外由求证的结果AM=21（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。练习：1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。2．已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=21BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例4如图，ABAC,∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。例5如图，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。练习：1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。12ACDBBDCAABECD2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD三由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：CABABCDAEBDCABDC121、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MDBD；（2）在△CEN中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE∴AB+ACBD+DE+EC（法二：图1-2）延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+ACBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC∠BAC。分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC∠DEC，同理∠DEC∠BAC，∴∠BDC∠BAC证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF∠BAD，同理，∠CDF∠CAD，∴∠BDF+∠CDF∠BAD+∠CAD，即：∠BDC∠BAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CFEF。分析：要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（辅助线作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共边）∴△DBE≌△NDE（SAS）ABCDEFN13图1234∴BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）∴BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在△ABC中，ABAC，∠1=∠2，P为AD上任一点求证：AB-ACPB-PC。分析：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PNBN，即：AB-ACPB-PC。证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连