高中数学复习第一轮知识点大汇总

高中数学复习第一轮知识点大汇总第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1．已知集合A＝{y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于()A．(0,1)B．[0,1]C．(0，＋∞)D．{(0,1)，(1,0)}解析∵A＝{y|x2＋y2＝1}，∴A＝{y|－1≤y≤1}．又∵B＝{y|y＝x2}，∴B＝{y|y≥0}．A∩B＝{y|0≤y≤1}．答案B2.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝()A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}解析由M∩∁UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．答案B3．设集合U＝{x|x5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝()．A．{1,4}B．{1,5}C．{2,3}D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁UM＝{1,4}．答案A4．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是()．A．2B．3C．4D．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．答案B5．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案A6．设集合A＝xx24＋3y24＝1，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()．A．[－2,2]B．[0,2]C．[0，＋∞)D．{(－1,1)，(1,1)}解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．答案B二、填空题7．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.答案18．已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．解析若a＝4，则a2＝16∉(A∪B)，所以a＝4不符合要求，若a2＝4，则a＝±2，又－2∉(A∪B)，∴a＝2.答案29．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确．②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确．③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，3∈A1,2∈A2，但是，3＋2∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案②10．已知集合A＝x6x＋1≥1，x∈R，B＝{x|x2－2x－m0}，若A∩B＝{x|－1x4}，则实数m的值为________．解析由6x＋1≥1，得x－5x＋1≤0，∴－1x≤5，∴A＝{x|－1x≤5}．又∵B＝{x|x2－2x－m0}，A∩B＝{x|－1x4}，∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8.此时B＝{x|－2x4}，符合题意，故实数m的值为8.答案8三、解答题11．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.解∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．∴－a＝－1＋3＝2，b＝－1×3＝－3，∴a＝－2，b＝－3.12．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈(A∩B)；(2){9}＝A∩B.解(1)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝－3或a＝3，经检验a＝5或a＝－3符合题意．∴a＝5或a＝－3.(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，由(1)知a＝5或a＝－3.当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，此时A∩B＝{9}，当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．∴a＝－3.13．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.解由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.∴A＝{3,5}．(1)当a＝15时，由15x－1＝0，得x＝5.∴B＝{5}，∴BA.(2)∵A＝{3,5}且B⊆A，∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.若B≠∅，则a≠0，由方程ax－1＝0，得x＝1a，∴1a＝3或1a＝5，即a＝13或a＝15，∴C＝0，13，15.14．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.解由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}；当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件．答案A2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案B3．已知集合A＝{x∈R|122x8}，B＝{x∈R|－1xm＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．m≥2B．m≤2C．m2D．－2m2解析A＝{x∈R|122x8}＝{x|－1x3}∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A∴∴m＋13，即m2.答案C4．命题：“若x21，则－1x1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1x1，则x21C．若x1或x－1，则x21D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析x21的否定为：x2≥1；－1x1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案D5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案B6．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()．A．0a≤1B．a1C．a≤1D．0a≤1或a0解析法一(直接法)当a＝0时，x＝－12符合题意．当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则Δ＝4－4a0，1a0⇔a1，a0⇔a0；若方程两根均负，则Δ＝4－4a≥0，－2a0，1a0⇔a≤1，a0⇔0a≤1.综上所述，所求充要条件是a≤1.法二(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案C二、填空题7．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：|a＋b|＞1⇔θ∈0，2π3p2：|a＋b|＞1⇔θ∈2π3，πp3：|a－b|＞1⇔θ∈0，π3p4：|a－b|＞1⇔θ∈π3，π其中真命题的个数是____________．解析由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－12，故θ∈0，2π3.当θ∈0，2π3时，a·b＞－12，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜12，故θ∈π3，π，反之也成立，p4正确．答案28．若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析由x21，得x－1或x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“xa”可以推出“x21”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.答案－19．已知集合A＝x122x8，x∈R，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析A＝x122x8，x∈R＝{x|－1x3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋13，即m2.答案(2，＋∞)10．“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.答案充分不必要三、解答题11．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a24b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a24b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．12．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．解方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．当a＝0时，x＝－12适合条件．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，当a＝1时，方程有一负根x＝－1.当a1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝1a0，∴a0.综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1.13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．解(1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．14．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－