高中数学课件：直线、平面垂直的判定与性质-

高中数学课件：直线、平面垂直的判定与性质一、“基础知识”掌握牢1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线⇒a∥b相交a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的所成的叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：.射影锐角0，π23．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角α的范围：.两个半平面垂直[0，π](2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊥a⇒l⊥αl⊥αl⊂βα∩β＝a二、“基本技能”运用好1．通过认识和理解空间中线、面垂直的有关判定和性质，提高学生的空间想象与逻辑思维能力．2．通过对空间图形的垂直关系的判定与证明，提高学生的推理论证能力．1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.()A．若l⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．答案：A2.如图，在三棱锥V­ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为______．解析：VA⊥AB，VA⊥AC，AB∩AC＝A⇒VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC⇒VA⊥BC，AB⊥BC，VA∩AB＝A⇒BC⊥平面VAB，VB⊂平面VAB⇒BC⊥VB.所以有4个直角三角形．答案：4三、“基本思想”很重要1．利用数形结合思想来判定线面垂直的关系．2．利用转化与化归思想解决线面垂直的有关证明问题．1．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AA1，AB1分别与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；根据线面垂直的定义，一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；直线AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直线BC⊂平面ABCD，故选项C错误；直线AA1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直线CD⊂平面CC1D1D，故选项D错误．答案：B2.已知如图，六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD解析：A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF.又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故D结论不正确．答案：D四、“基本活动体验”不可少工人师傅在砌墙时，用一个铅锤就可以检测出所砌的墙面与地面是否垂直，你能说出其中所蕴含的数学道理吗？解：悬挂铅锤的直线相当于地面的垂线，墙面所在的平面只要经过地面的垂线，利用面面垂直的判定定理，即可得出墙面与地面垂直．考点一直线与平面垂直的判定与性质(综合之翼巧贯通)考法(一)证明线面垂直[例1]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥DC，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：(1)PH⊥平面ABCD；(2)EF⊥平面PAB.[证明](1)∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点M，连接MD，ME.∵E是PB的中点，∴ME綊12AB.又∵DF綊12AB，∴ME綊DF，∴四边形MEFD是平行四边形，∴EF∥MD.∵PD＝AD，∴MD⊥PA.∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB.∵PA∩AB＝A，∴MD⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB.考法(二)证明线线垂直[例2]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为D1D的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥AP.[证明]法一：线面垂直法如图(1)，易证AB1＝CB1.又因为O为AC的中点，所以B1O⊥AC.在矩形BDD1B1中，O，P分别为BD，D1D的中点．易证△POD∽△OB1B，所以∠POD＝∠OB1B.所以B1O⊥PO.又AC∩PO＝O，所以B1O⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC，所以B1O⊥AP.法二：计算角度法如图(2)，令PC的中点为E，因为O为AC的中点，所以AP∥OE.所以∠B1OE或其补角是异面直线B1O与AP所成角．设正方体棱长为4，则B1C＝42，B1P＝6，PC＝25，在△B1PC中，由三角形中线长公式可知B1E2＝14[2(B1P2＋B1C2)－PC2]＝29，又B1O＝26，OE＝5，所以B1O2＋OE2＝B1E2，所以∠B1OE＝90°，所以B1O⊥AP.[解题方略]看个性考法(一)是证明线面垂直的问题．(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.看个性考法(二)是证明线线垂直的问题．证明线线垂直的基本方法：(1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法．(2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法找共性证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：[过关集训]1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，点E是B1C的中点．在三角形AB1C中，点D是AB1的中点，所以DE是三角形AB1C的中位线，所以DE∥AC.又因为AC⊂平面AA1C1C，DE⊄平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，所以AC⊥BC1.又因为BC＝CC1，所以四边形BB1C1C是正方形，所以BC1⊥B1C.又因为B1C∩AC＝C，所以BC1⊥平面AB1C，所以BC1⊥AB1.2.如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.考点二平面与平面垂直的判定与性质(综合之翼巧贯通)[典例]如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[解题指导]求什么想什么要证平面BCD⊥平面EGH，想到证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线给什么用什么题目中给出AB⊥BC，可证GH⊥BC差什么找什么还差证平面EGH内与GH相交的另一条直线与BC垂直，作辅助线证明即可[证明]连接DG，GE，EH.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC，又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE，又CF⊥BC，所以HE⊥BC，又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.[解题方略]1．面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．2．三种垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直[提醒]两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．[过关集训]1.如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；(2)若AB＝2，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．解：(1)证明：由侧面AA1B1B为正方形知AB⊥BB1.又因为AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又因为AB⊂平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.(2)由题意知，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1.由(1)知，CO⊥平面ABB1A1，且CO＝32BC＝32AB＝3.连接AB1，则VC­ABB1＝13S△ABB1·CO＝16×AB2·CO＝233.因为VB1­ABC＝13VABC­A1B1C1＝233，所以VABC­A1B1C1＝23.2．(2020·开封定位考试)如图，在三棱锥D­ABC中，AB＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝6，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；(2)求三棱锥D­ABC的体积．解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴BC⊥平面ADC，又BC⊂平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝23，∴sin∠ACD＝53，∴S△ACD＝12·AC·CD·sin∠ACD＝52，则VD­ABC＝VB­ADC＝13·BC·S△ACD＝156.考点三平行、垂直关系的综合应用(综合之翼巧贯通)[典例](2019·北京高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以AB⊥AE.又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.因