初中数学竞赛——矩形和菱形

初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第2讲矩形和菱形知识总结归纳一.矩形的定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形，矩形也是我们通常所称的长方形．二.矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质．（2）矩形的对角线相等．（3）矩形的四个角都是直角．（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．三.矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等的平行四边形是矩形．（3）有三个角是直角的四边形是矩形．四.直角三角形的一条重要性质：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．（2）性质可以用来解决有关线段倍分的问题．五.菱形的定义：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形六.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边相等．（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．七.菱形的判定：（1）由定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（2）由对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（3）由边的关系判定：四条边相等的四边形是菱形．初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃典型例题一.矩形【例1】已知矩形的对角线长为13，周长为34，求这个矩形的面积．【例2】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，且120AOD，12cmAC，求AB的长．【例3】如图，在ABC△中，ABAC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．【例4】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，试说明：四边形EFGH是矩形．ODCBAEDCBAODCABHGFE初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例5】如图，在ABC△中，ABAC，AD、AE分别是BAC与BAC的外角的平分线，CEAE，求证：ACDE．【例6】如图，在矩形ABCD中，16AB，8BC，若将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，CE与AB交于点F，求AF的长．【例7】如图，折叠矩形ABCD的边AB，使点B落在AC上的点F处，折痕为AE，若1AB，2BC，求BE的长．【例8】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE△折叠后得到EBG△，延长BG交CD于点F，若1CF，2FD，求BC的长．EDCBAFCDFEBAEDCBAFFDCBAGE初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃二.直角三角形的斜边中线【例9】如图，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且90APCBPD．求证：平行四边形ABCD是矩形．【例10】如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．【例11】如图，在ABC△中，ABAC，BD平分ABC，DEBD，垂足为D，DE交BC于点E．求证：12CDBE．ABCDEFMODCBAPEDCBA初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例12】如图，ABC△的边BC的中点为N，过A的任一直线ADBD与D，CEAD于E．求证：NEND．【例13】如图，分别以ABC△的AC、BC边为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角ACE△和等腰直角BCD△，M为DE中点，求证：AMBM．【例14】如图，已知五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，M为CD的中点，求证：MBME．ENCBADBAEDCMBMDCEA初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃三.菱形【例15】如图，菱形ABCD中，60B，2cmAB，E、F分别是BC、CD的中点，连AE、EF、AF，求AEF△的周长．【例16】如图所示，在菱形ABCD中，AC与BD交于O，6AC，8BD，求菱形ABCD的面积．【例17】如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，4cmPE，则点P到BC的距离是多少？【例18】如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放到一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．FDBCAEOCBADEDCBAPDCBA初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例19】如图，在ABCD□中，EF经过对角线的交点O，且EFAC分别交CD、AB于E、F．试说明四边形AECF是菱形．【例20】如图，在ABC△中，90ACB，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．【例21】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E,使BEAB，连CE．（1）求证：BDEC；（2）若50E，求BAO的大小．【例22】如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，DE交AC于F．求证：FBCAED．OFEBCDAEHBDCAFCDEBAFBADCE初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例23】延长菱形一边DC至E，使CEDC，FG、在BC上，且BFCG，又14FABDAB，AF交对角线BD于H，求证：2FHCCEG。思维飞跃【例24】设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3个点的距离之和都相等．试判断这个四边形是什么四边形？请证明你的结论．【例25】已知，ABC△中，2BC，M是BC中点，ADBC于D．求证：12DMAB．【例26】如图所示，矩形ABCD内一点P到A、B、C的长分别是3、4、5，求PD的长．PDCBAMDCBADGFHCBAE初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃【例27】如图，已知矩形ABCD中，CEBD于点E，延长EC，与BAD的平分线AF相交于点F，求证：CFBD．【例28】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边的中点，MPNP的最小值是多少？【例29】如图，在矩形ABCD中，E为CB的延长线上一点，且ACCE，F为AE的中点．求证：BFFD．EAFDCBCBADPNMDCEBAF初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃【例30】如图，在ABCD□中，2ABAD，F为AB的中点，CEAD交AD（或延长线）于E．求证：3BFEAEF．作业1.如图，在ABCD□中，AC、BD相交于点O，且AOB使等边三角形，边长为2，求BC的长．2.如图，在矩形ABCD中，3AB，4BC，若将矩形折叠，使点与点B重合，求折痕EF的长．3.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知6AB，ABF△的面积是24，求FC的值．EDCBAFFDEBACODCBAFCBDAE初二数学联赛班八年级11思维的发掘能力的飞跃4.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角5.已知菱形周长为24，一条对角线长为8，求菱形的面积．6.ABC△中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点,求证：PM＝PN．7.如图，在ABC△中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF∥，连BE、CF．（1）求证：BDFCDE≌．（2）若ABAC，求证：四边形BFCE是菱形．CBAMNPCBAFDE初二数学联赛班八年级12思维的发掘能力的飞跃8.已知：锐角三角形ABC中，BD、CE是两条高，F、G分别是BC、DE的中点，求证：FG垂直平分DE．9.如图所示，在ABC△中，90BAC，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于点M,AN平分DAC，交BC于点N．求证：四边形AMNE是菱形．10.如图在矩形ABCD中，已知12AD，5AB，P是AD边上任意一点，PEBDPFAC，，E、F分别是垂足，求PEPF的值．11.如图，已知P是ABC△内一点，PEAB，PFAC，D是BC的中点，PBFPCF，求证：DEDF．OPABCDEFPFEDACBGABDECFCDBANME