课程报告

1《信号与系统A（1）》课程自学报告实施报告题目：基于MATLAB的连续信号的频谱分析学号：姓名：任课教师：联系方式：二零一五年月日2第一部分：理论自学内容阐释一、系统的物理可实现性、佩利—维纳准则理想低通滤波器在物理上是不可能实现的，然而，传输特性接近理想特性的网络却不难构成。如图所示：网络转移函数为：由于CLR，并引入符号LCc1,上述式子可改为22)(2)23()2(2332|)(|)(11)ccccjccjejHjjH（其中冲激响应为：)23sin(32)]([)(21tejHFthctcc)(1tvCRL)(2tvRLLCCRLCRVVHj11j11jj11jjj2122cc2c22c1arctan11jH　3根据上述式子可以画出幅度特性和相位特性以及冲激响应波形。O|)（H|j1-ωω从波形中可以看出，电路的幅度特性，相位特性与理想低通滤波器有些相似，冲激响应也有相近之处，然而，区别仍然很明显，在这里幅度特性不可能出现零值，冲激响应的起始时刻在t=0处。那么究竟怎样的系统数学模型可以在物理上实现呢？就时间域特性而言，一个物理可实现网络的冲激响应h(t)在t0时必须为0，由此我们也可以看出为什么理想低通滤波器是不可能实现的，因为它不是一个因果系统。从频域特性来看，|H(jw)|要满足平方可积条件。佩利和维纳证明了对于幅度函数|H(jw)|物理可实现的必要条件是该式子称为佩利-维纳准则。不满足此准则的幅度函数，该网络的冲激响应就是无起因的，即响应应先于冲激激励出现。佩利—维纳准则只从幅度特性上提出要求，而在相位特性方面却没有给出约束，因此该准则只是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。其实只要我们找到一个满足该准则的|H(jw)|就可以找到适当的相位函数φ（w）与它一起构Oc-2c2）（Otthcπcπ2d1)(jln－2H4成一个物理可实现的系统函数。佩利—维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。对于物理可实现系统，可以允许H(jw)特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。按此原理，理想低通，理想带通，理想带阻等理想滤波器都是不可实现的。二、调制和解调在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往需要进行调制和解调。这一节主要介绍了调制与解调以及调制解调的方法。1、调制调制作用实质就是把各种信号的频谱搬移，使他们互不重叠的占据不同频率范围，就是将信号分别依附在不同频率的载波上，这就是利用调制原理实现“多路复用”。我们可以利用傅里叶变换的某些性质说明搬移信号频谱的原理。设载波信号为)cos(0t，它的傅里叶变换为）】（）（【00调制信号g(t)也称基带信号，若g(t)的频谱为）（G，占据m-至m的有限频带，将g(t)与)cos(0t进行实域相乘即可得到已调信号f(t)，根据卷积定理，容易得到已调信号的频谱]-GG[2100）（）（）（F，可见，信号的频谱被搬移到载波0附近。2、解调由已调信号)cos()()(0ttgtf恢复基带信号(g(t))的过程称为解调。下图是实现解调的一种原理方框图，这里，)cos(0t信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。f(t)与)cos(0t相乘的结果使频谱)(F0向左、5右分别移动0（并乘以系数1/2）,得到)(0G,然后再利用一个低通滤波器（带宽大于m,小于m-20）,滤去在频率02附近的分量，即可取出g(t),完成解调。这种解调器称为乘积解调，需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波可以在发射信号中加入一定强度的载波信号)cos(A0t，这时，发送端的合成信号)cos()]([0ttgA，如果A足够大，对于全部的t,有A+g(t)0;于是，已调信号的包络就是A+g(t)，这时，利用简单的包络检波器即可从相应的波形中提取包络，恢复g(t)，不需要本地载波。第二部分：案例陈述及实现方案一、案例背景在信号与系统的课程教学中，特别是各种积分变换的内容，其中的各种定理、结论等基本上都是复杂繁琐的数学公式，使学生感到很抽象和难以理解。例如连续周期信号的频谱、吉伯斯现象、非周期信号的频谱，如果仅仅通过数学推导计算出它们的表达式，学生就很难理解其中的物理含义，对知识的掌握只能停留在公式的表面。对于数学基础比较薄弱的学生，让他们画出信号的频谱是一件困难的差事，而教师要在课堂上在黑板上画出信号的频谱则需要耗费宝贵的课堂时间。目前，由于不断压缩课堂讲授课时，使这个问题显得更加突出。通过利用MATLAB可以很好的解决这一问题。二、案例功能和指标通过MATLAB画出连续周期信号的频谱并利用有限项级数来逼近有第一类间断点的原信号来观察吉伯斯现象。6三、数学模型和实施步骤数学模型：周期为T的连续周期信号f(t)若满足狄里赫利(Dirichlet)条件，则可以分解为傅里叶级数，用指数形式表示的傅里叶级数为：tjnnenFtf1)()(1，还可以得到指数形式的傅里叶系数dtetfTFTtttjnn001)(1，根据nF可以画出指数形式表示的信号频谱。根据njnne|F|F可以画出复数幅度谱||nF与复数相位谱n。当nF为实数时，可以用nF的正负表示n的0,。因此经常将幅度谱与相位谱合画在一张图上，每条谱线长度为1/2Cn.此外，用有限项级数来逼近有第一类间断点的原信号时，将会出现吉伯斯(Gibbs)现象。吉伯斯现象：用有限项级数来逼近有第一类间断点的原信号时，将会出现吉伯斯(Gibbs)现象。即在间断点处收敛于原信号的左右极限之和的一半，并在间断点发生震荡，而且不随级数的项数增加而减小或消失。实施步骤：我们可以先利用解析法计算得到傅里叶级数系数Fn的表达式，也可以利用MATLAB的符号函数构造出积分公式中的函数，再利用MATLAB实现积分来计算Fn，最后再用MATLAB画出Fn的波形图。第三部分：案例成果阐述及代码案例1：基波周期基波周期T=20的周期方波，在−0.5Tt0.5T区间内该方波由下式表示：试画出它的频谱图。解题思路：先利用MATLAB积分计算nF，然后再利用MATLAB画出nF波形。代码：N=25;T=20;w0=2*pi/T;tau=1;symstw;%将t，w定义为符号变量fte=exp(-j*w*t);%构造傅里叶系数公式中被积分的函数F=int(fte,t,-tau/2,tau/2)/T;%积分得到傅里叶系数，为w的函数7n=[-N:N];%谐波次数n从-50到50w=n*w0+eps;%eps=2.2204e-016Fn=subs(F,w);%对应w取值计算Fnstem(n,Fn,'.');%画出频谱图，以谐波次数为横坐标xlabel('谐波次数n');ylabel('Fn');title('方波信号频谱')从而得到f(t)的频谱图如图所示从图中可以很直观的看出该函数n次谐波的振幅。案例2：基波周期T=20的三角波，在−0.5Tt0.5T区间内该方波由下式表示：f(t)=0.25T−|t|；代码：T=20;N=15;%为T和N赋值w0=pi*2/T;symstn;%将t，w定义为符号变量xet=(0.25*T-abs(t))*exp(-j*n*w0*t);%定义函数f(t)F=int(xet,t,-T/2,T/2)/T;%定义傅里叶级数n=[-N:N]+eps;%定义n的范围Fn=subs(F,n);%数值代入符号变量stem(n,real(Fn),'.')%画出频谱图，以谐波次数为横坐标xlabel('谐波次数n');%添加x轴坐标名称ylabel('Fn');%添加y轴坐标名称title('三角波信号频谱')%为频谱图添加标题8案例3：对案例一的吉伯斯现象的观察用有限项级数来逼近有第一类间断点的原信号时，将会出现吉伯斯现象，即在间断点处收敛于原信号的左右极限之和的一半，并在间断点处发生振荡，而且不随级数项数增加而减小或消失。代码：K=[1,3,20,89];%定义K的取值T=2;tor=1;w0=2*pi/T;t=-T/2:0.001:T/2;%定义t的范围ft=rectpuls(t,tor);%定义函数ftholdon;plot(t,ft);%画出ft波形图并保持symstk;%定义符号变量forL=1:length(K);N=K([L]);%定义L的取值并开始循环xet=exp(-j*k*w0*t);%定义函数xeta=int(xet,t,-tor/2,tor/2)/T;%求傅里叶级数n=[-N:N];n([N+1])=eps;ak=subs(a,n);%定义n的取值并代入函数expkk=exp(n*j*w0*t);%定义函数expkkxN=simple(ak*expkk');%化简xN函数holdon;ezplot(xN,[-T/2,T/2]);%画出xN的图像endaxis([-1,1,-1,2])%定义坐标轴范围title('吉伯斯现象')%为画出的图添加标题9案例4：对于三角波的吉伯斯现象的观察对没有间断点的三角波则没有发生吉伯斯现象代码：K=[1,3,5,89];%定义K的取值T=2;tor=T;w0=2*pi/T;t=-1:0.1:1;%定义t的范围ft=0.5*T-abs(t);%定义函数ftholdon;plot(t,ft);%画出ft波形图并保持symstk;%定义函数expkkforL=1:length(K);N=K([L]);%定义L的取值并开始循环xet=(0.5-abs(t))*exp(-j*k*w0*t);%构造函数xeta=int(xet,t,-tor/2,tor/2)/T;%构造傅里叶级数表达式n=[-N:N];n=n+eps;%定义n的取值范围ak=subs(a,n);%将变量代入函数ak([N+1])=tor/2/T;expkk=exp(n*j*w0*t);%构造函数expkkxN=simple(ak*expkk');%化简xNholdon;ezplot(xN,[-T/2,T/2]);%画出xN的图像endtitle('吉伯斯现象')%为画出的图添加标题10案例5：非周期信号的频谱对非周期连续信号f(t)进行傅里叶变换，就可以得到它的频谱，也可以利用MATLAB来计算并画出波形图。首先根据具体的信号来定义相应的符号函数，再利用fourier命令来计算。或者将连续时间傅立叶变换进行数字近似，用函数fft（快速傅立叶算法）高效地计算这个近似值。求f(t)e−4tu(t)的频谱。symstw;%定义变量t,wft=(exp(-4*t).*heaviside(t));%定义函数f(t)Fjw=fourier(ft);%求信号f(t)的傅里叶变换fjww=[-10:0.1:10];%定义w的范围FF=subs(Fjw,w);%用w置换fjw中的自变量赋值给FFsubplot(2,1,1);ezplot(abs(Fjw),w);%以w为横坐标，绘制信号ft的幅频特性图subplot(2,1,2);plot(w,angle(FF));%以w为横坐标，绘制信号ft的相频特性图11第四部分：期刊文献[1]郑君里,应启珩,杨为理.信号与系统上册[M].北京：高等教育出版社，2011.79-82.[2]黄值功.基于MATLAB的连续信号频谱分析，广西物理，2009-9-15