大学物理-高斯定理

(1)点电荷的场强02041rrqπεE0221041rrqqF库仑定律0qFE电场强度(2)场强叠加原理nEEEE21电场强度的计算复习(3)电荷连续分布的带电体的电场)(30)(4qqrrdqEdE)(体分布dVρdq)(面分布dSσdq)(线分布dlλdq电荷分布7.3高斯定理高斯（CarlFriedrichGauss，1777～1855）德国数学家、天文学家、物理学家高斯在数学上的建树颇丰，有“数学王子”美称。因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资助下与1795～1798年入格丁根大学学习。1777年4月30日生于布伦瑞克。童年时就聪颖非凡，10岁发现等差数列公式而令教师惊叹。大学一年级（19岁）时就解决了几何难题：用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次的因式这一定理的新证明》获得博土学位。1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。1855年2月23日在格丁根逝世。(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。(2)光学：利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像，建立高斯光学。(3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算，地球大小和形状的理论研究等。(4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高斯误差曲线。(5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：规定：1、电场线(ElectricFieldLine)（电场的几何描述）2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等于该点电场强度的大小。1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；dSdNE/EdSE电场线密集的地方场强大。电场线稀疏的地方场强小，⊥dS一、电通量电场线的特性1）电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2）电场线不相交。3）静电场电场线不闭合。电场线的这些性质是由静电场的基本性质和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质方程加以证明。点电荷的电场线正点电荷+负点电荷一对等量异号点电荷的电场线+一对等量正点电荷的电场线++一对不等量异号点电荷的电场线qq2带电平行板电容器的电场线++++++++++++2、电场强度通量（ElectricFlux）定义：通过电场中某一曲面的电场线数，叫做通过这个面的电通量。均匀电场，垂直平面SEESΦeθEScos均匀电场，与平面夹角EESESΦenSS=ESθnSE，E非均匀电场，S为任意曲面（不闭合的）SSEΦΦdcosdeeSSEΦdeSEΦddenSSddSd为面元矢量dS有两个法线方向，dφ可正可负。En为通过S面的电通量。E1dS22E11ESSSESEΦdcosde通过闭合曲面的电通量为：θEdsSEΦcosdde0d,2πe22Φθ0d,2πe11Φθ为封闭曲面S规定：闭合面上各面元的外法线方向为正向。表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。eΦ电场线穿出闭合面为正通量，电场线穿入闭合面为负通量。2dS解：下右左后前eeeeeeΦΦΦΦΦΦ下后前eeeΦΦΦ0dsSE左左左左ESESsSEΦπcosde左右右右ESESsSEΦcosde0eeeeee下右左后前ΦΦΦΦΦΦ例：一个三棱柱体处在电场强度的匀强电场中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。1CN200iExyzEonnn二、静电场中的高斯定理（Gauss’Law）niiSqSEΦ10e1d内在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以。0ε（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）请思考：1）高斯面上的与那些电荷有关？Es2）哪些电荷对闭合曲面的有贡献？eΦ高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。1、高斯定理高斯定理的导出dS结果与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。E204rπεqE022044εqrπrπεq0ΦcosdSESdESSeSSdSrπεqdSE2041）点电荷位于球面中心SSr+q2）点电荷在任意闭合曲面内'S和包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以S'S0''εqΦSdEΦeSeq'SS通过的电通量：'S即：通过任一个包围点电荷的闭合曲面的电通量与曲面无关，结果都等于0εqRq2dS2E0dd111SEΦ0dd222SEΦ0dd21ΦΦ1dS1E3）点电荷在闭合曲面之外0ΦSeSdEiq1q2q1kqnq4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量nkkiiEEEEEE11面内电荷产生面外电荷产生SeSdEΦSiSdE00001εqεqk)(内iqε01)()(外内iSiSSdESdE是指面内电荷代数和。)(内iq)(内iSeqεSdE01ΦESd对连续带电体，高斯定理为：表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面，所以正电荷是静电场的源头。表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以负电荷是静电场的尾。dqSdES0100eiΦq00eiΦqniiSqSEΦ10e1d内高斯定理静电场是有源场。说明：niiSqSEΦ10e1d高斯定理总结iq1q2q1kqnqESd1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度。2）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献。4）反映了静电场的基本性质——静电场是有源场。3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正。正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。问题：如果高斯面上E处处为零，则该面内必无净电荷。2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。如果高斯面内无电荷，则高斯面上E不一定为零。3）如果高斯面上E处处不为零，则该面内必有电荷。如果高斯面上E处处不为零，则该面内不一定有电荷。4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强一定为零。高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的场强不一定处处为零。)(1内sioSqSdE1）如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。1S2S3Sqq01e1dqSEΦS02eΦ03eqΦ在点电荷和的静电场中，做如下的三个闭合面求通过各闭合面的电通量。,,,321SSSqq讨论将从移到2qABeΦPs点电场强度是否变化？穿过高斯面的有否变化？2q2qABs1qP*例：一点电荷位于边长为a的立方体的顶角上，求：通过该立方体表面总的电通量。解：顶角所在的三个面上的通量为零。其余三个面上直接计算困难考虑用8个这样的立方体将点电荷拥在中心。其外表面上的电通量为：由对称性：0324eqSeSdE'Φ0εq2、高斯定理的应用)(内iSeqεSdE01Φ球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。高斯定理的一个重要应用是：计算带电体周围电场的电场强度。常见的具有对称性分布的源电荷有：求解的关键是选取适当的高斯面。只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比较方便应用高斯定理求出场强。1）分析场强分布的对称性，找出场强的方向和场强大小的分布。2）选择适当的高斯面，并写出通过该高斯面的电通量。3）求出高斯面所包围的电量。4）按高斯定理求出场强。用高斯定理计算场强的步骤：)(内iSeqεSdE01Φ如何选取高斯面：2）高斯面必须通过所求的场点；3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿过该面的电通量。4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。1）高斯面必须是闭合曲面；)(内iSeqεSdE01Φ注意高斯定理在任何电荷分布情况下都成立，但只有少数几种高度对称电荷分布的系统，其场强才能用高斯定理简单地计算出来。这是因为：已知电荷分布，利用高斯定理求场强，意味着要解上面的积分方程！但如果电荷分布具有的对称性，能使场强这个物理量从积分号下提出来，左面只剩下面积积分，问题就简单地解决了。)(内iSeqεSdE01ΦOR++++++++++++r1Sr2s例：均匀带电球面的电场强度一半径为,均匀带电的薄球壳（面）。求：球面内外任意点的电场强度。RQ解：均匀带电球面的电场分布具有球对称性。由高斯定理：SEdScos0/εqi内球对称时的高斯定理可写为：内ioqεrπE14224rπE取半径r的同心球面为高斯面，高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致。OR++++++++++++0d1SSE0E02dεQSESr1S20π4rεQE02π4εQErr2s20π4RQrRoE（1）Rr0Rr（2）内ioqεrπE142例：均匀带电球体，已知q、R。求：任意点的电场强度。解：RqErR时：334rπρqi330214RqrrE场强：304RqrE对称性分析，取高斯面。03r24ΦrπESdESe334RπqρE具有球对称性rRqErR时：电量qqi由高斯定理024εqrπE场强204rπεqE电通量r24ΦrπESdESeRqR204Rqo均匀带电球体场强大小分布曲线204,rπεqERr304,RπεqrERrorE例：两同心均匀带电球面，半径为R1和R2，分别带电q1和q2。求：空间电场分布。解：由对称性可知，电场方向是沿径向向外的。24rqEo内;42rεEo224:rεERroq1q1+q2RR1:由球对称时的高斯定理：24rεEo0=0;R1R2oq1q2:21RrR解：Sσqi内SeSdE作闭合圆柱面为高斯面。例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为，求：平面附近某点的电场强度。12SSSEdSEdSEdS侧1200/ESESS02SES02εσE12SSS侧具有面对称性，02EEEEEEO)0(x无限大均匀带电平面的场强000000讨论无限大带电平面的电场叠加问题解：场具有轴对称性，SeSdEΦ下上侧面SdESdESdE侧面rhπEdSE200hqihrhEe012rE02选同轴闭合圆柱形高斯面。例：无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为，求：距直线为r处的电场强度。R0iq0E解：场具有轴对称。高斯面：同轴圆柱面。例：均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为。上底侧面下底SdESd