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2017年暑假班衔接资料（新五年级）1/222017年暑假班衔接资料（新五年级）五暑第2讲分久必合，合久必分分解质因数衔接第1讲五暑第4讲枚举无序，数不下去枚举计数衔接第2讲五暑第12讲2父2子仅3人容斥原理衔接第3讲五暑第10讲我们一样高等高模型二衔接第4讲五暑第14讲商场里的扶梯扶梯与发车衔接第5、6讲打破知识门槛，衔接五暑课程暑假班开课在即，孩子们你们准备好了吗？先一起来预习一下吧~衔接目标暑假班衔接大纲2/222017年暑假班衔接资料（新五年级）第一讲质合初步四寒（八级·下）第5讲五暑（九级·上）第2讲：分久必合，合久必分五暑（九级·上）第3讲：因数与倍数五秋（九级·下）第4讲：因数个数定理了解质数与合数的概念；熟记100以内的质数；学会判断一个数是否是质数。质数：除了1和它本身，不再有别的因数的数基本定义合数：除了1和它本身，还有别的因数的数0和1不是质数，也不是合数整除特征：2,3,5,7,11判断质数试除法：除到商小于余数为止2：奇偶分析特殊质数5：尾数分析知识站牌知识点汇总学习目标2017年暑假班衔接资料（新五年级）3/22例二例一小试牛刀小试牛刀因倍质合在小升初中考查得比较基础，基本概念、最大公因数、最小公倍数是小升初中的常考点；数论知识在杯赛中有一定的占比，题型一般较难，属于拉分题型。一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数就叫做____________。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数就叫做_________。要特别记住：__________不是质数，也不是合数。【答案】质数；合数；0和1【解析】本题属于质数与合数的基本概念质数：除了1和它本身，不再有别的因数的数合数：除了1和它本身，还有别的因数的数特殊地：0和1既不是质数也不是合数。判断：自然数可以分为质数与合数两类（）【答案】×【解析】0和1既不是质数也不是合数！写出100以内的所有质数。【解析】本题属于熟记100以内的25个质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个.【易错点】几个常错的：51、57、81、87（这四个都符合3的整除特征，不是质数）91（能被7整除，记住97是唯一一个九十几的质数）请写出大于40小于70的质数。【答案】41、43、47、53、59、61、67一例一练4/222017年暑假班衔接资料（新五年级）小试牛刀例三在51、101、105、109、1001这五个数中，质数有多少个？【解析】本题属于判断质数51=3×17，105=3×5×7，1001=7×11×13.101、109都在2210~11之间，只需用2，3，5，7，11试除，看是否能整除即可。试除后可知都不能被整除，故101、09都是质数，共有2个质数.【注1】：利用常见数的整除特征可以迅速判断大部分整数是不是质数.【注2】：必须试除时如寻找接近的完全平方数有困难，可改为“除到商小于除数为止”.试判断143是不是质数？【答案】不是，143=1113【解析】用143从小到大试除质数，当试除到11时可整除《质数与合数初步》是四年级小朋友继“整除特征”后更深一步地进入到数论部分的学习，这会为我们以后学习因倍质合进阶及应用打下坚实的基础。首先，我们需要掌握质数与合数的基本概念，其次掌握如何判断一个数是否是质数也是非常有必要的，这是我们后面学习分解质因数中判断是否分解彻底的一个依据。本讲重点讲解“质合概念”和“质合判断”两种题型，另外100以内的质数也需要同学们主动的熟记哦，熟记后可以更加快速的解决一些数论问题。掌握这些基础后，同学们可以自己尝试着分解一个合数，将它分解为若干个质数相乘的形式，注意：要求是彻底分解为质数相乘的形式，如果你能搞定，那么后面我们学习分解质因数相信你一定可以轻松搞定的！知识点与例题讲解请戳上面二维码课程总结2017年暑假班衔接资料（新五年级）5/22第二讲枚举三秋（五级·下）第11讲三春（六级·下）第10讲五暑（九级·上）第4讲：枚举无序，数不下去五秋（九级·下）第13讲：排列组合初步掌握简单的字典排列法和树形图；培养有序的分类思想。枚举法：使用各种枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然.字典排列法：从首位开始，按一定的顺序(比如从小到大)枚举第一位，对于第一位的每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推.树形图：树形图法，又叫“枚举树”，是借助树状结构的分层特征来罗列所有可能的一种方法.利用枚举树进行枚举的一般步骤和技巧：（1）明确条件；（2）确定范围；（3）确定次序；（4）逐一枚举．知识站牌知识点汇总学习目标6/222017年暑假班衔接资料（新五年级）例二例一小试牛刀小试牛刀枚举计数是小升初和杯赛中很重要的一部分，小升初中的计数题基本都可以用枚举解答，而杯赛中，也可以说是“得枚举者得天下”，强大的枚举功底一定可以成为杯赛中的加分项！用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？（数字可以重复使用）【答案】27种【解析】本题属于字典序枚举27个：百位是1的有9种（111，112，113，121，122，123，131，132，133），同理百位是2的有9种，百位是3的有9种，共9×3=27种．【易错点】严格地按照大小顺序枚举可以有效地防止重复和遗漏，不建议大家采取交换数字的方法，容易遗漏，比较混乱。另外，该题可以更直接地采取乘法原理333=27种。用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？（数字不可以重复使用）【答案】6【解析】按照字典序从小到大枚举分别是123、132、213、231、312、321共6个自然数12，135，1349这些数有一个共同的特点，至少有两个数字，而且相邻两个数字，左边的数字小于右边的数字，我们取名为“上升数”。用5，6，7，8这四个数字，可以组成多少个“上升数”？【答案】11【解析】本题属于分类枚举两位上升数：56，57，58，67，68，78；三位上升数：567，568，578，678；四位上升数：5678；共64111个.【注】不对称时采取分类再枚举可以使得枚举更有条理用1、4、7这三个数字，可以组成多少个“下降数”？【答案】4个【解析】两位下降数：41、71、74；三位下降数：741，总共4个一例一练2017年暑假班衔接资料（新五年级）7/22小试牛刀例三艾迪、薇儿、等等三人互相传球，从艾迪开始作第1次传球，经过了4次传球后，球恰巧又回到艾迪手中，那么不同的传球方式共多少种？【答案】6钟【解析】本题属于树形图计数如图，A表示艾迪，B表示薇儿，C表示等等.第一次传到B，第四次传到A有三种方法；同样第一次传到C，第四次传到A也是三种．共有6种．【注】：对于完全对称式的树形图，可以“偷懒”不用再画出来了，如题中接下来再要画的树形图分枝其实就是将上面已画好的A、B互换，显然也是对应3种。甲、乙两队进行足球比赛，约定先拿下两场的队伍获胜，那么请问最终比赛的战况有多少钟？【答案】6种。【解析】如下图树形图表示，第一场如果甲胜有3种战况，同理如果第一场乙胜也有3钟（甲、乙互换即可），所以一共有6种。这一讲综合总结了五年级之前我们学习到的常用的枚举方法，字典序和树形图都是帮助梳理枚举的有效方法，字典序可以帮助我们找到枚举顺序的“主线”，严格地按照顺序往下枚举是不重不漏的保障。树形图借助树状结构和分层特征可以使得枚举更加直观。枚举是计数中最基本、最原始的方法，之后我们会巩固加乘原理，还会在五年级秋季接触到一种更加高级的计数方法——排列组合。但是不管多高级，学会计数的最最基本的方法枚举是必不可少的，同学们需要多加练习哦~AAABCABCBA乙甲乙甲甲课程总结8/222017年暑假班衔接资料（新五年级）第三讲包含与排除四寒（八级·上）第6讲五暑（九级·上）第12讲：2父2子仅3人理解二量重叠的意义；学会用韦恩图来表示二量重叠和三量重叠；能够熟练运用包含与排除的办法解决二量重叠问题和简单的三量重叠问题。先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.二量重叠问题：BA知识站牌知识点汇总学习目标1．先包含——AB（把AB、的一切元素都“包含”进来，加在一起）2．再排除（阴影重叠部分算了2遍；减1遍）2017年暑假班衔接资料（新五年级）9/22例二例一小试牛刀容斥原理往往结合数的整除特征出现在小升初和杯赛中，二量容斥相对来说比较简单明了，同学们也都能吃透，三量容斥相对更加复杂却也是考查更多的一种类型。如果用下图中的小圆（A圆）代表五（1）班参加了数学兴趣小组的小朋友，用大圆（B圆）代表参加了语文兴趣小组的小朋友。那么请问图中①、②、③号区域分别代表什么意思？【解析】①代表只参加数学兴趣小组的小朋友，②代表既参加了数学兴趣小组又参加了语文兴趣小组的小朋友，③代表只参加语文兴趣小组的小朋友。如果用下图中的小圆（A圆）50以内是3的倍数的数；用大圆（B圆）代表50以内是4的倍数的数；那么请问图中①、②、③号区域分别代表什么意思？【解析】①代表50以内是3的倍数但不是4的倍数的数，②代表50以内既是3的倍数又是4的倍数的数，③50以内是4的倍数但不是3的倍数的数。学校文艺组的每位同学至少会演奏钢琴和手风琴中的一种乐器，已知会演奏钢琴的有24人；会演奏手风琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人，则文艺组一共有__________人．【答案】33【解析】本题属于二量容斥求总数问题这个文艺组人数为：2417833(人)．一例一练10/222017年暑假班衔接资料（新五年级）小试牛刀小试牛刀例三五（2）班的每个同学都至少会说英语或德语中的一种，已知会说英语的有48人；会说德语的有30人，其中有20个同学这两门语言都会说，那么五（2）班共有________个同学。【答案】58个【解析】483020=58（个）在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【答案】15人【解析】本题属于二量容斥的标区域问题如图，用长方形表示全体采摘人员46人，左圆表示采了樱桃的人数，右圆表示采了杏的人数．两圆之外表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640(人)，而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715(人)．【点评】把韦恩图画出来并且把已知条件分别标在对应区域后会发现这道题非常简单，只要用总数减去每一块已知的区域数就可以得出我们需要求的“只采杏”人数。但是如果一直不愿意动手画图，始终纠结于题目的每一句描述话语，这个题会很“绕”，这也是为什么建议大家处理有交集的计数问题时采取勤画韦恩图的原因了。五（3）班共有55个学生，其中有32个同学喜欢喝可乐和雪碧，有15个同学只喜欢喝可乐，还有2个同学既不喜欢喝可乐也不喜欢喝雪碧，问：只喜欢喝雪碧的有多少个同学？【答案】6【解析】试着动动手像例题一样画出韦恩图，并作出相应的标注，易得到只喜欢喝雪碧的有55215326（人）既没采樱桃又没采杏既采樱桃又采杏只采杏只采樱桃2017年暑假班衔接资料（新五年级）11/22容斥原理——先包含，再排除，可以用来解决各分类之间出现重叠情况的计数问题。韦恩图是解决这类问题非常好用的一个工具，所以这一讲我们首先需要掌握画韦恩图的基本功，并且需要梳理清楚韦恩图中的每一块区域分别代表什么，把题目中的已知信息在图中标明，可以采取先计算求得每一块区域再组合达到题目的要求，也可以通过多次包含排除达到要求。知识点与例题讲解请戳上面二维码课程总结12/222017年暑假班衔接资料（新五年级）第四讲等高模型四秋（七级·下）第5讲五暑（九级·上）第10讲：我们一样高五暑（九级·