函数基础2——函数的单调性、奇偶性、幂函数、二次函数

1函数的单调性（教师用）知能点全解：知能点一：函数单调性的定义1、图形描述：从函数2xy的图象（图1）看到：图象在y轴的右侧部分是从左向右连续上升的，也就是说，当x在区间[0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大，即如果任取21,xx0,，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x2x时，有1y2y。这时我们就说函数)(xf=2x在[0,+)上是增函数。图象在y轴的左侧部分是从左向右连续下降的，也就是说，当x在区间,0上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果任取21,xx,0，得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x2x时，有1y2y。这时我们就说函数)(xf=2x在(-,0)上是减函数.2、定量描述对于函数)(xf的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx，（1）若当1x2x时，都有)(1xf)(2xf,则说)(xf在区间D上是增函数；（2）若当1x2x时，都有)(1xf)(2xf,则说)(xf在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数y=)(xf在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(xf在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(xf的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2xy（图1），当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的，如图2。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,xx应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(xfy是增函数还是减函数。解：函数)(xfy的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(xfy在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数。知能点二：用定义证明函数的单调性531-2-5xOy2例2：证明函数3)(xxfxR是增函数。证明：设21,xx是R上的任意两个实数，且1x2x则)xxx)(xx(xxx)f(x)f(x22212121223121∵21xx∴021xx，又∵043)2(22221222121xxxxxxx,∴021)f(x)f(x即)f(x)f(x21∴3)(xxf在R上是增函数。例3：证明函数1fxxx在0,1上是减函数证明：设21,xx是0,1上的任意两个实数，且1x2x，则211212121212121212121212121111111xxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∵121xx∴12121200-10xxxxxx∴12fxfx0所以函数1fxxx在0,1上是减函数。特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：（1）取值，即设21,xx是区间上的任意两个实数，且1x2x；（2）作差变形，即12fxfx，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）判断12fxfx的正负，当正负不确定时，可以分区间进行讨论，判断正负；（4）根据定义得出结论。及时演练：1、判断并证明下列函数的单调性（1）23)(xxfxR（2）()32fxxxR（3）()fxx（4）()fxx2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明（1）1fxx（2）3fxx（3）223fxxx（4）232fxxx3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数（1）2,(0,)yxx（2）1,(1,0]1yxx（3）21yx),(（4）.1xxy),1(4、讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论31、函数yfx与函数yfx的单调性相反2、当fx恒为正或恒为负时，函数1yfx与函数yfx的单调性相反3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。例4：求函数20xafxax的单调区间。解：2xaafxxxx∵0a，ayx得单调递减区间是,0和0,，yx在R上单调递减∴函数20xafxax的单调区间是,0和0,。及时演练：1、下列函数中，在区间0,2上为增函数的是（B）A、3yxB、21yxC、1yxD、yx2、在,0上单调递减的函数是（A）A、1xyxB、21yxC、23yxD、22xx3、函数211xxyx的单调递减区间是1,2和2,。4、已知,fxgx定义在同一区间上，fx是增函数，gx是减函数，且0gx，则（B）A、fxgx为减函数B、fxgx为增函数C、fxgx为减函数D、fxgx为增函数5、223fxxx的单调减区间是3,4和30,4。6、二次函数2yaxbxc的递增区间为,2，则二次函数2ybxaxc的递减区间为1,8。7、已知函数222913fxxx，则使函数fx是减函数的区间是1,4。8、设fx是定义在区间U上的增函数，且0fx，则下列函数：①1yfx；②1yfx③2yfx；④yfx中，是减函数的有①②④（把序号填在横线上）。知能点四：复合函数单调性的判断对于函数)(ufy和)(xgu，如果)(xgu在区间),(ba上是具有单调性，当),(bax时，),(nmu，且)(ufy在区间),(nm上也具有单调性，则复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表：4)(ufy),(nmu增↗减↘)(xgu),(bax增↗减↘增↗减↘))((xgfy),(bax增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例5：求函数xxy20042的单调递增区间.解：由020042xx，得0x或2004x∴函数的定义域是,20040,令22004uxx则yu易知函数uy在,0上是增函数，函数xxu20042的单调递增区间是1002,∵原函数的定义域为,20040,∴函数xxu20042的单调递增区间是2004,所以函数xxy20042的单调递增区间是.,2004拓展知识点：函数(0,0)byaxabx的单调性（1）单调增区间：bb,,,aa（2）单调减区间：bb0,,,0aa（3）图像的两条渐进线分别为0x和yax（4）图像如右：典型题型全解题型一：利用函数单调性比较函数值的大小例6：如果函数2fxxbxc，对任意实数t都有22ftft，比较1,2,4fff的大小。解：由题意知，fx得对称轴为2x，故13ff∵fx在2,上是增函数∴234fff，即214fff及时演练1、已知4,fxfxxR，当2x时，fx为增函数，设1,4,2afbfcf，则,,abc的大小关系为cba。2、若12,,0xx，且12xx，函数1fxx，则1fx与2fx的大小关系为12fxfx。3、函数2fxxpxq对任意x均有11fxfx，那么0,1,1fff的大小关系为101fff。题型二：利用函数单调性求参数的范围例7：已知2212fxxax在,4上是减函数，求实数a的取值范围。解：要是fx在,4上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称14xa即可，解得3a。及时演练：1、若函数ymxb在,上是增函数，则有（C）A、0bB、0bC、0mD、0m52、若22fxxax与1agxx在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是（D）A、1,00,1B、1,00,1C、0,1D、0,13、已知函数25yxax在1,上递增，则a的取值范围是2,。4、已知函数268,1,fxxxxa，并且fx的最小值为fa，则实数a的取值范围是1,3。5、函数2201fxxaxx的最大值是2a，那么实数a的取值范围为1,0。6、函数245fxxmx在区间2,上是增函数，则1f的取值范围是25,。题型三：利用函数单调性求函数的最值例8：（1）求函数1yxx的值域；（2）已知1,1Abb，对于函数21112fxx，若xA时，fxA，求b的值。解：（1）由010xx得，函数的定义域为1,，而函数yx和1yx在1,上都是增函数，则1yxx也是增函数，当1x时，它取得最小值，所以1yxx得最小值为1，即它的值域为1,。（2）函数21112fxx表示开口向上，顶点坐标1,1，对称轴1x的抛物线。因此，当1,xb时，fx是增函数∴当xb时，fx取最大值fb，而1,fbb，∴fbb，即21112bb。解得1,b或3b。∵1b，∴3b。及时演练：1、函数1yx在2,2上的最大值与最小值分别为3，0。2、已知函数24,1,5fxxxx，则这个函数的值域为4,5。题型四：函数单调性定义逆命题及其应用逆命题：已知函数yfx在定义域的某个区间上为增函数（减函数），若12xx，则12fxfx（12fxfx）例9：已知函数yfx在0,上是减函数，试比较34f与21faa的大小。解：221331244aaa∵yfx在0,上是减函数∴21faa34f及时演练：1、函数223fxxmx在2,上为增函数，在,2上为减函数，则m=-8。2、2221fxxaxa在,2上为增函数，在2,上为减函数，则2f=7。3、若函数yfx在R上单调递减，且21fmfm，则实数m的取值范围是,1。4、已知函数在区间,ab上具有单调性，且0fafb，则方程0fx在区间,ab上（D）A、至少有一实根B、至多有一实根C、没有实根D、必有唯一实根5、函数fx在,0和0,上递减，且220ff，则10fx的解集是6