(5)广义积分敛散性的判别法-

广义积分敛散性的判别法判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问题.当被积函数的原函数求不出来,或者求原函数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了.因此,我们需要其它方法来判断广义积分的收敛性.（一）。无穷限广义积分的审敛法无穷限广义积分的审敛法与正项无穷级数审敛法很类似，先复习一下正项级数审敛法以便与无穷限广义积分的审敛法作比较[,);(0)aa0()g(),()fxxax()agxdx()afxdx0g()(),()xfxax()agxdx()afxdx上连续，，1）如果：且收敛，则收敛；2）如果：且，发散发散；则(),()fxgx广义积分比较审敛原理：设在区间1.正项级数比较审敛原理(收敛，发散，值)注：1）.可将广义积分比较原理与级数相应比较法对比，其是类似的；2）.可通俗的说：大积分收敛，则小积分收敛；反之，小积分发散，则大积分发散。2.P级数（积分）及其敛散性：Cor1（选p级数作比较对象）(),(0)pcgxcx()fx[,);(0)aa()0fx(),()pMfxaxx()afxdx设在区间上连续，且1.如果存在常数M0,及p1,使得：则；Cor1.令收敛；2）如果存在常数N0,使得(),()Nfxaxx则()afxdx发散；Cor2（与p级数比较的极限形式）Cor2（极限形式）设()fx在区间[,);(0)aa上连续，且()0fx则1）当lim(),(1)pxxfxp存在时()afxdx收敛；lim(),(1)xxfxp()afxdx2）当存在或为无穷大时，发散；()afxdx()afxdxDef：绝对收敛：如果积分收敛，则称积分定理：绝对收敛积分必收敛绝对收敛3.级数绝对收敛及其性质1341xdx,111103/4434xxx41,3p（二）。例题选讲无穷限广义积分的审敛法例1判别广义积分的敛散性.解因为这里故由推论1知，题设广义积分收敛.121xxdx,111lim22xxxx,12p例2判别广义积分的敛散性.解因为这里故由推论2知，题设广义积分收敛.122/31dxxx,1lim1lim2222/3xxxxxxxx例3判别广义积分的敛散性.解因为故根据推论2知，题设广义积分发散.dxxex111x,11xxex1arctandxxx,2arctanlimarctanlimxxxxxx例4判别广义积分的敛散性.解因为当时，故由推论1知，题设广义积分发散.例5判别广义积分解因为故根据推论2知，题设广义积分发散.的敛散性.0sinbxdxeaxba,.0a,sinaxaxebxedxeax0dxbxeax|sin|0例6判别广义积分的收敛性，其中都是常数，且解而收敛.收敛，故题设广义积分收敛.adxxx23sin)0(a,1|sin|223xxxdxxa21dxxxa|sin|23dxxxa23sin例7判别广义积分.解由于而收敛，故收敛，即绝对收敛.(),()fxgx(,]ab0()g(),fxx()bagxdx()bafxdx（三）无界函数的广义积分审敛法定理：（比较原理）设函数在区间上连续，，1）如果：且收敛，则收敛；当x充分靠近点a时有lim()xafx0()g(),fxx()bafxdx()bagxdx2）如果：当x充分靠近点a时有且发散则发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的发散则大的也发散）lim()xafx补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性与无穷限广义积分情况正好相反(),(0)()pcgxcxa()fx(,]ab0()0,lim()xafxfx1q(),()()qMfxaxbxa()bafxdx取Cor3设在区间上连续，且1）如果存在常数M0,及,使得：则收敛；(),()()qNfxaxbxa()bafxdx2）如果存在常数N0,及q≥1,使得则发散()fx(,]ab0()0,lim()xafxfx0lim()()qxaxafx()bafxdx1q00lim()()0(lim()()=+)qxaqxaxafxdxafx或()bafxdxCor4.（极限形式）设在区间上连续，且1.如果存在常数0q1，使得：存在，则广义积分2）如果存在常数，使得：存在，则广义积分发散收敛20cos1dxxxm0xmxxxfcos1)(),0(12121~cos122xxxxxxmmm,12m3m,12m3m例8判别广义积分的收敛性.是的瑕点，且所以，当即时，题设广义积分收敛;当即时，题设广义积分发散.（四）无界函数的广义积分审敛法例题解由于31lnxdx1x1111lim(1)lim1,1lnxxxxx例9判别广义积分解被积函数在点的右邻域内无界.又由洛必达法则知故根据推论4知，题设广义积分发散.的收敛性.101sindxxx,11sinxxx10xdxdxxx101sin例10判别广义积分解因为而广义积分收敛，从而题设广义积分也收敛.的收敛性.收敛，根据比较审敛原理知，例11.考研题（2010.1）设m，n均为正整数，，则反常积分的收敛性为（）120ln(1)mnxdxx（B）仅与n的值有关（A）仅与m的值有关（C）与m，n的值都有关（D）与m，n的值都无关解：瑕点：X=0与x=11212112221200ln(1)ln(1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxIIxxx212ln(1)()()(),(0)mnmmnnxxxfxxxxx分1）n1,2）n=1，m=1,2；3）n=1，m2讨论1I对于对于2I当0p1时1lim()(1)0pxfxx故无论对于任意的m，n均收敛，故选（D）（罗比达）1I2I