3龚漫奇6.1-6.2-微元法与几何应用

定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种适用的简便方元素法(微元法).第六章定积分的应用(P274)本章介绍它在几何,物理上的简单应用,培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力.法---Theapplicationofdefiniteintegral6.1微元法的基本思想(补充教材圈26页)ab)(xfyOxyxdxx)(xf)(dxxf)26(页圈微元法:1步.成一小块一小块的微量看成是绿色曲边梯形可先把如图A,(,的面积成一个个窄轴的直线把曲边梯形分微分方法是用y//)的曲边梯形按某种方式微分把不易计算的所求量A:2步建立坐标系，A并创建一个区间函数如图值小区间的的每一个小块对应一个使得步(1],,[21AxxA],,[),],[],[2121baAAxxxxA且所求上的曲边梯形的面积].,[],[],[),,(:baAbcAcaAbacA具有可加性且:)2(3法步)(],[即微元值上的微计算标准微分区间Adxxx，如图红色部分)](,[dxxxAdAdxxfxf)(),(:使找具体做法是dA代替兰如图红)(,0的相对误差为.)(],[dxxfdxxxAdA故:4步bxaxbadxxfdAbaAA)(],[.32求和不增加相对误差，个可加性；第，个第.,02相对误差越小越小”，中的“相对误差为步dx小结思考题作业平面图形的面积体积平面曲线的弧长6.2定积分在几何学上的应用(P276)第六章定积分的应用?][宽长1.直角坐标系中图形的面积)(阴影部分如图设区域例D;上的左端靠在axD;上的右端靠在bxD);(xyyD上的上线方程为且);(xyyD下的下线方程为axbx)(xyy上)(xyy下xy).(的公式的面积求AD公式为：解微分法是步,1.竖向分条条对应的区间步,2x)(条.,1小块的微量把所求微分成一小块一步.12间的每个小块对应一个区使步造区间函数步,,0)(],,[,3相对误差代用算微元步dAdxxfdxxxAdA,3步xdxx)(xy上)(xy下宽长矩形面积背景知识,],[dxxxAdAdx)()(xyxy下上bxaxdAbaAA],[,4步badxxyxy)]()([下上右端左端下上下线上线dxdxxyxyAba][)]()([,),(可用矩形代条窄微dx如图设区域公式D2;上的下端靠在ayD;上的上端靠在byD);(yxxD右的右线方程为且);(yxxD左的左线方程为ayby)(yxx左xy)(yxx右).(的公式的面积求AD公式为：上端下端左右左线右线dydyyxyxAba][)]()([例解.2,02所围成的图形面积求由xxyyx用公式,先画D图,围D线,xxyyx202交点).3,3(),0,0(坐标轴,OxyD右端左端下上下线上线dxdxxyxyAba][)]()([上端下端左右左线右线dydyyxyxAba][)]()([xxy220yx0yxxxy22用公式1,左端O,A右端O恰为两线交点坐标需算左右两端的,xD,0x左端,3x右端:下线:上线下线，xxy22上线yyx0,x右端左端下线上线dxA][302)]2([dxxxx23[2x303]3x227327612729A,xy2xyxy2ABO)1,1()2,4(例2,2xyxy求.AD的面积所围区域解用公式,先画D图,围D线,坐标轴,右端左端下上下线上线dxdxxyxyAba][)]()([上端下端左右左线右线dydyyxyxAba][)]()([,2xy2xy.D如阴影所示用公式2,下端上端恰为两线交点坐标需算上下两端的,yA,B,解2,{2xyyx.)2,4(;1)1,1(ByA),(yx:左线:右线左线xxy2右线xxy2,2y,2y上端下端左线右线dyA][212]2[dyyy2132]322[yyy3)1(8))1(2(22142939623xy2xyxy2A1D2DBO)1,1()2,4(例2,2xyxy求.AD的面积所围区域解2用公式1,先画D图,围D线,坐标轴,,2xy2xy.D如阴影所示右端左端下上下线上线dxdxxyxyAba][)]()([的整个下线先用几何线段表示D.A如图两线交点是表示时，当下线不是用一个方程注意:]一分为二将需用过两线交点的垂线D.,21DDDA为垂线分过yxyxy取下线2解xxO点,0A右端是点),(2,{2yxxyyx.)2,4(;1)1,1(BxA0,yxy同理上线,左端是对于:1DxBA,,4,1右端是左对于,:2D下线2xy上线,xy)()(21DADAA10)]([dxxx41)]2([dxxx102/3]3/22[x1022/3]2)2/1()3/2([xxx2/1小结axbx)(xyy上)(xyy下xyayby)(yxx左xy)(yxx右公式1：如D图为badyyxyxA)]()([左右公式2：如D图为badxxyxyA)]()([下上称公式1中的D为(1)型D.称公式2中的D为(2)型D.)()(:xyyxybxaD上下且)()(:yxxyxbyaD右左且分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)上连续,与直线bxax,所围成的)()(xgxf、设],[ba在则曲线)()(xgyxfy、平面图形面积为xxgxfAbad)]()([)(xxgxfBbad|)()(|)(xxgxfCbad)]()([)(xxgxfDbad|])(||)([|)()(xfy)(xgyOxyab)1)(2202P《辅》例解,311,222xxyxy与直线求曲线.3围成的图形面积x两曲线交点为).21,1(),21,1(由于图形关于y轴对称,故A2xxxd)211(22xxxd)112(22201133323Oxy33211xy22xy111.9,3),4)(1(2),3(1286P作业：.AD的面积所围区域解由对称性,14AA例22xaab总面积等于4倍第一象限部分面积．abOxy12222byax求右端左端下上下线上线dxdxxyxyba][4)]()([4的下线：1A1A下线0y的上线：1A上线ybyax12222dxA][4???022xaab0a)(44022几何意义abdxxaaba)41(4的圆的面积半径为aababaab2)41(4)(圆的面积的推广)cos1(),sin()(tayttax旋轮线求摆线解.轴所围图形的面积的一拱与x例点求函数的单调区间的端页见补教圈由描点作图法),1(),0(sin,0)cos1(Zkkttaytaxtt列表单调区间的端点,,Ztkt0342tx0a4aa3a2y00a2a20Oxyaa2a2,描点.单调连点A所求badxxyxyA)]()([下上?0?0?a2)cos1()(tay,tyxy表示的是用由于上换元变量为换元,t小表为换限列小表换字必换限,,tyx都换为见上,)(?)()cos1(dta?0?2)sin(tta2022)cos1(dtta23a一般地,当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理.例求由极坐标方程)0)((rr给出的平面曲线)(,所围成的曲边扇形的面积A.和射线解d)(rrdOr如图A为红色面积.用微元法.:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:221把A分成一牙儿一牙儿的0,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dAdA绿色小曲边扇形面积)(微替用黄色小圆扇形面积代d)(r21212圆心角R2)(rddAA??dr2)(212.极坐标下平面图形的面积(P276)如图曲边扇形的面积drA2)(21背此公式bxaxbadxxfdAbaAA)(],[:4步解由对称性知总面积14AAd2cos2142aA.2ad)]([212rA04=4倍第一象限部分面积例求双纽线2cos22ar所围平面图形的面积.xyOxy例求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解利用对称性知d)coscos21(202a022sin41sin223a223adrA2)]([21A)cos1(ard)cos1(2122a20xyO2解求交点cos1cosrr3由对称性A31272drA2)]([21d)cos1(21203dcos21223][cos1rcosrxyO12例求心形线cos1r所围图形与圆盘cosr的公共部分的面积.的图用描点法画cos1rxyxrrr222coscos).2(8,7),3)(2(5286P作业：圆柱圆锥圆台二、体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．1.旋转体的体积)(xfybaxxd如果旋转体是由连续曲线),(xfy直线bxax,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积V为多少?例Oxyx解如图红色为曲边梯形,用微元法.:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:221切片儿法垂直于x轴把0,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dxxxVdV黄色小片儿的体积)(微替用小圆柱片儿的体积代xd21212hR2)(xfxdbadxxf2)(bxaxbadxxfdAbaAA)(],[:4步旋转立体为虚线所示.立体V切成一片儿一片儿的)(xfdVV?a?b：背切片法公式)(),(//轴为例以变量轴转轴xbxaxdxxr2)(Oy0yx)(xrxab2y1y2001)(yyyyxr其中)()()(2001xyyyxyxr)()(含图即可得到此公式的副本换为同时换为把此公式中的xyyxV转得之如图贴轴曲边梯形)(axbx)(xyy上)(xyy下xy如图阴影所示其中转得之绕求图形例DV,baccxD)),(()()(:xyyxybxaD上下dxxcxx)(xyy下)(xyy上解用微元法.:1的微量分成一小块一小块易算把步A可加区间使每个小块对应一个小造步AxxA,],,[:221薄柱壳儿法垂直于x轴把0,)(],[:3且相对误差使算步dxxfdxxxAdA],[dxxxVdV绿色薄柱壳的体积矩形片可将薄柱壳展开成一个微)(xd厚宽长？柱高底圆周长xdbxaxdxxhxR)()(2bxaxbadxxfdAbaAA)