北师大版九年级数学下册第二章-二次函数-压轴题强化训练试题

北师大版九年级数学下册第二章二次函数压轴题强化训练试题1．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．2．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，﹣1），其对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n＜1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FP﹣EP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d．（3）是否存在两个不等实数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s．若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由．3．定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），当x＞m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤m时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2），则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y＝图象上，则k＝；若点（a﹣1，5）的1分变换点在直线y＝x+2上，则a＝（2）若点P在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，点Q为点P的3分变换点．①直接写出点Q所在函数的解析式；②求点Q所在函数的图象与直线y＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x≤t时，点Q所在函数的函数值﹣5≤y≤6，直接写出t的取值范围．（3）点A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），若点P在二次函数y＝x2﹣mx+﹣2的图象上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在的函数图象与线段AB有两个公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0），对称轴是直线x＝．（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且∠PAB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，当∠PBQ＝∠AQB，且△ABM与△PQM的面积相等时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C为抛物线的顶点．点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180°，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B′、C′．（1）若a＝1，求原抛物线的函数表达式；（2）在（1）条件下，当四边形BCB'C'的面积为40时，求m的值；（3）探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB'C'为菱形？请说明理由．6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点A，与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点C（3，3）．（1）求此一次函数与二次函数的表达式；（2）若点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠ADO＝∠OED，求点D坐标．7．如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．8．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．9．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．．10．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．11．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，3），交x轴于另一点B，其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，直线CP交x轴于点E，若△CAE与△OCD相似，求P点坐标；（3）如果点F在y轴上，点M在直线AC上，那么在抛物线上是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出菱形的周长；若不存在，请说明理由．13．已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2．①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？14．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．15．如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值．17．如图，二次函数y＝ax2+x+c的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；②连结PB，求PC+PB的最小值．20．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y＝ax2+c交x轴于A、B两点，P是抛物线上一动点，平行于x轴的直线l经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y轴上有点C（0，），连接PC，设点P到直线l的距离为d，PC＝t．童威在探究d﹣t的值的过程中，是这样思考的：当P是抛物线的顶点时，计算d﹣t的值；当P不是抛物线的顶点时，猜想d﹣t是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P在第二象限，分别连接PA、PB，并延长交直线l于M、N两点．若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．参考答案1．如图，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝OB，点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．（1）求a、b、c的值；（2）若直线y＝x+n与x轴交于点E，与y轴交于点F．①当n＝﹣1时，求∠BAF﹣∠BAD的值；②若直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，求n的取值范围．【解答】解：（1）∵点C的坐标为（﹣1，0），OA：OC＝3：1，∴A（（3，0），∵OA＝OB，∴B（0，3），把A、B、C三点都代入二次函数的解析式得，，解得，；（2）∵n＝﹣1，∴y＝x+n＝x﹣1，∴F（0，﹣1）∴OF＝1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝3，AB＝3，BD＝，AD＝2，∴BD2+AB2＝AD2，∴∠ABD＝∠AOF＝90°，∵，，∴，∴△OAF∽△BAD，∴∠OAF＝∠BAD，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠OAB+∠OAF﹣∠BAD＝45°；②直线EF上有点H，使∠AHC＝90°，则以AC为直径的圆⊙G与直线EF有公共点，如图，当直线EF在x下方与⊙G相切时，则△EGK∽△EF