等价无穷小函数求极限

羇等价无穷小求函数极限蒂膂1绪论羀蚈1.1研究背景和意义薄极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。现有的极限问题的求解方法主要有以下几种:定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。芀等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。葿生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。蒈因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。薅等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。蚃针对等价无穷小求函数极限的问题本文将进行以下研究：袈(1)等价无穷小求函数极限的相关概念；膈(2)等价无穷小代换再求函数极限问题中的相关定理及证明；莂(3)等价无穷小的应用。螁1.2研究现状芈等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一。在数学分析和高等数学中等价无穷小的性质虽然仅仅在“无穷小的比较”中出现过,但是,在判定广义积分、级数的敛散性时，无穷小也表现出了很好的性质,这说明等价无穷小量的性质正在逐步推广。衿目前,随着技术的进步及迅速发展,社会各个领域中等价无穷小量的作用越来越突出，我们相信,在不久的将来,等价无穷小量将会延伸到更多领域,并且会对我们人类产生更深远的影响。蒄虽然人们对等价无穷小量的研究范围逐渐扩大，研究形式日益广泛，研究内容日益深入，研究成果不断出新，但仍然存在许多问题等待我们新时期的学术爱好者去共同探讨,一起解决，因此，对等价无穷小在求函数极限中的应用及推广的意义和作用还需要我们更加深入的对其进行探讨和学习研究。膃在数学分析中,求函数的极限是最基本的问题之一,也是数学分析学习的重点。在这些求极限的问题中,最不好掌握的便是00型这类不定式的极限,一般见到这一类型的问题,最容易想到的便是洛比达法则。事实上,洛必达法则也不是万能的,一些问题可能会越用越复杂,并且出现循环,求不出结果。例如一个求极限问题[1]0sin(tan)tan(sin)limxxx,它是一个00型的不定式极限。用洛比达法则求解如下,羁原式1212220001212tan(sin)sin(tan)sin(tan)tan(sin)[sin(tan)]cos(tan)seclimlim[tan(sin)]sec(sin)coslimxxxxxxxxxxxxx,出现了循环,此时用洛必达法则求不出结果。用等价无穷小量来替换,原式001sintanlimlimxxxxxx,由此可见洛必达法则并不是万能的,也不一定是最佳的,它的使用也具有局限性。在这里我们看到了等价无穷小量有着无可比拟的作用,用等价无穷小量来替换能够很快地求出结果。莅等价无穷小量替换是计算极限的一种重要方法,然而在目前流行使用的许多版本的数学分析教材中,一般只给出了两个无穷小量积和商的形式等价无穷小量替换定理,接着就强调:只有对所求的极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换,而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意替换[2]。薅节1.3文章结构莀本文研究的主要对象为等价无穷小函数极限的相关问题，文章的结构如下：膅第一章绪论。本章节中在查阅大量的文献资料的基础上，主要对等价无穷小求函数极限的研究背景研究意义以及研究现状进行了介绍。莃第二章基础知识。本章节的主要内容是对等价无穷小以及等价无穷小在求解函数极限中应用的相关概念、定理进行了介绍，主要包括等价无穷小定义，无穷小与函数求极限的关系以及等价无穷小代换及其推广相关定理的证明。莀第三章等价无穷小求函数极限的应用及推广。本章节中主要对等价无穷小在求函数极限中的具体应用进行了研究介绍，主要包括等价无穷小在求有限个函数积或商的运算、在极限式中的加减运算、乘方运算以及变上限定积分求解等方面的应用进行了介绍。袀最后，针对本文所学习研究的内容进行了总结。袆莄螂2基础知识艿本文中将对等价无穷小求函数极限的相关概念和方法进行学习研究，本章节中主要对其中的一些概念和定义进行介绍，包括等价无穷小的定义，无穷小代换定理、推广以及相关定理证明等。蚆2.1等价无穷小相关概念蒅2.1.1相关定义袁定义2.1：对于函数()fx的极限趋近方式，主要有7种，包括n数列nx的极限、x（x、x）函数xf的极限、0xx（0xx、0xx）函数()fx的极限，这里，本文中对上述的7种趋近方式进行总结归纳，定义x＊表示上述某一种趋近方式，即虿＊000;;;;;;nxxxxxxxxx莇定义2.2[2]：当在给定的x＊下，()fx以零为极限，则称()fx是x＊下的无穷小，即0limxfx＊。下面给出几个简单的无穷小量的例子，如下所示：芃例2.1(1),0sinlim0xx函数sinx是当0x时的无穷小量;膃(2),01limxx函数1x是当x时的无穷小量;肈(3),0)1(limnnn函数(1){}nn是当n时的无穷小量。肇这里需要我们注意的是，无穷小不等同于很小的数；根据上面对无穷小的定义，零是唯一一个可以看作是无穷小的常数，除此之外的任意常数都不是无穷小。芄定义2.3[2]设当0xx时,f与g均为无穷小量,若0()lim1()xxfxgx,则称f与g是当0xx时的等价无穷小量。记作0()~()()fxgxxx。莂不难看出等价无穷小量是等价关系,具有如下性质:螁性质1:设函数,,fgh在00()x内有定义,且()fx~()gx0()xx,()gx~0()()hxxx，则等价无穷小量有如下性质：袇()i反身性:0()~()()fxfxxx;莆)(ii对称性:若0()~()()fxgxxx,则0()~()()gxfxxx;蒀)(iii传递性:若0()~()()fxgxxx,0()~()()gxhxxx,芁则0()~()()fxhxxx。薈证()i00()limlim11()xxxxfxfx膃0()~()()fxfxxx。螂)(ii0()lim1()xxfxgx蚀000()11limlim1()()()lim()()xxxxxxgxfxfxfxgxgx。莈0()~()()gxfxxx。膄)(iii00()()limlim1()()xxxxfxgxgxhx羁000()()()()()limlimlim()()()()()xxxxxxfxfxgxfxgxhxhxgxgxhx聿00()()limlim1()()xxxxfxgxgxhx肈0()~()()fxhxxx芆2.1.2常见的等价无穷小芃当时，有如下等价无穷小：葿(1)xsin～x；(2)xarcsin～x；(3)xtan～x；衿(4)xarctan～x；(5))1ln(x～x；(6)1xe～x肃(7)xcos1～22x(8)1)1(x～x(9)1xa-～lnax*莁用等价无穷小可给出函数的近似表达式:羈,1limlim=0，即()o，于是有()o。芅如sin()xxox，221cos1()2xxox。膄薀莈2.1.3无穷小与函数极限的关系肆定理2.1：0lim()()(),xxxfxAfxAx®=?+其中)(x是自变量在同一变化过程0xx（或x）中的无穷小。膆证：（必要性）设0lim()xxfxA®=，令()(),xfxA=-则有0lim()0,xxx®=袂).()(xAxf肁（充分性）设()(),fxAx=+其中()x是当0xx®时的无穷小，则螆00lim()lim(())xxxxfxAx=+)(lim0xAxx.A羃上述内容(定理2.1)给出了无穷小在求函数极限中的等价关系，通过定理2.1可以将一般的函数极限求解问题转化为求解无穷小相关的函数极限的特殊问题，同时给出了函数()fx在0x附近的近似表达式()fxA»，误差为()x。羁2.1.4无穷小的运算性质蒀定理2.2：对于同一趋近过程中的有限个无穷小量，他们的代数和仍是无穷小量。(注：定理2.2成立的条件是对有限个无穷小量而言，而无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小。)薆例2.2n时，1n是无穷小量，但是n个1n无穷小量之和为1，不是无穷小量。肅定理2.3：有界函数乘以一个无穷小量其结果仍然是无穷小量。莃例2.301)1(limnnn，01sinlim0xxx，0sin1limxxx，三个函数在对应的趋近过程中，可以表示成一个有界函数与无穷小量的乘积，其结果仍然是无穷小量。袀推论2.1：在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。芇推论2.2：常数与无穷小的乘积是无穷小。肆推论2.3：有限个无穷小的乘积也是无穷小。蒁例2.42210,,,sin,sinxxxxxx®当时都是无穷小，观察各极限：荿(1)xxx3lim20=0,2x比3x的下降速度要快的多；肇(2)xxxsinlim0,1两者(sinx、x)的下降速度大致相同；袃(3)2201sinlimxxxxxx1sinlim0的极限不存在，两者不具有可比性。袄由上述例子可以看出对于不同的无穷小量，其趋向于零的“快慢”程度不同。螈2.2等价无穷小代换定理及证明螇定理2.4[2]：设函数,,fgh在00()x内有定义,且有：羅0()~()()fxgxxx羂()i若0lim()(),xxfxhxA则0lim()();xxgxhxA膈)(ii若0()lim,()xxhxBfx则0()lim.()xxhxBgx蒈注2.1：定理1称为“等价无穷小量替换定理”[2],说明了在对所求极限式中相乘或相除的因式可用等价无穷小量来替换。肆注2.2：应用等价无穷小量替换,必须记住一些常用的等价无穷小量。肀当0x时,常见的等价无穷小量有[4]:袁(1)~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1;xxxxxxxe芈(2)11~;nxxn螃(3)1~ln(01);xaxaaa且蒃(4)(1)1~();xxR芁21(5)1cos~;2xx罿21(6)sec1~.2xx袅上面所列的等价无穷小量可用洛必达法则直接证明（证明从略）。薁注2.3在利用等价无穷小量替换时,还要记住一些极限公式,如两个重要极限100sin1,(1)limlimxxxxxex[2]和01limxxx[5]等。螀蒅羆例如，0131arcta