平面向量的数乘及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义向量的加法(三角形法则)如图,已知向量和向量,作向量.ABoabbaababba向量的加法(平行四边形法则)oABC如图,已知向量和向量,作向量.abbaabab向量的减法(三角形法则)如图,已知向量和向量,作向量.ABoabbaababba.)()()(aaaaaaa和作出：，练习：已知非零向量aaaaOABCaaaPQMN想一想：变化？和的长度与方向有什么相同的向量相加以后，BCABOAOC由图知，，aaaa3记为：.a3OC即的方向相同，的方向与显然aa3倍，的长度的的长度是3aa3.||||a3a3MNQMPQPN由图知，，)()()(aaaa3记为：.a3PN即的方向相反，的方向与显然aa3.||||a3a3aa一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：(1)||||||aa；(2)0aa当时，的方向与的方向相同；0aa当时，的方向与的方向相反；00.a当时，问题：通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义问题：你能说明它数乘意义吗？定义：•1．从两个角度看数乘向量•(1)代数角度•λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0.•(2)几何角度•对于向量的长度而言，•①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍；•②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ|倍．在物理中位移与速度的关系：其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量．s=vt，f=ma.力与加速度的关系：判一判(判断下列说法的正误)(1)实数λ与向量a的和λ＋a与差λ－a是向量．()提示：×实数与向量不能作加减运算．(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．()提示：√－3a与3a方向相反．(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．()提示：√|－6a|＝6|a|＝2×|3a|.aa2a6)2(3aaa6)2(3实数与向量的积的运算律：aa)()(之间的联系）与（思考：aa623a实数与向量的积的运算律：a5aaa32)32(a2a3aaa)(的联系与思考：aaa32)32(实数与向量的积的运算律：bbaba22)(2ba)(2bab2baba)(的联系与思考：baba22)(2aa2定义，可得运算律：根据实数与向量的积的为实数，则、设)()1(aa)()2()()3(ba；a)(；aa.ba向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。)(结合律)(第一分配律)(第二分配律5例计算：；a431)()(；aba2ba32)()()(.)()()(cb2a3cb3a23解：a4)3()1(a43)(；a12原式)(2ab2a2b3a3；b5原式)(3cb2a3cb3a2.c2b5aab2的积表示为实数与向量量、把下列各小题中的向ab3;6,3)1(ebea;14,8)2(ebea;31,32)3(ebea;32,43)4(ebeaab47ab21ab988ae23ae34ae2021/2/1思考)0(aaa有何关系？与结论：.,是共线向量，那么如果baab2021/2/1思考结论：？那么共线向量，是与反过来，如果abba.abba那么是共线向量，，如果2)可以是零向量吗?思考:1)为什么要是非零向量?共线向量基本定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得ababab课本P904是否共线：与量、判断下列各小题中向ba4;2,2)1(ebea;22,)2(2121eebeeaba解：共线。与baab2解：共线。与ba例..33是否共线与试判断，已知，如图AEACBCDEABADABCDE解：DEADAEBC3AB3)(BCAB3，AC3共线与AEAC.ECA.33三点的位置关系。、、试判断，已知，如图变式一：BCDEABAD.A且有公共点三点共线、、ECA共线与AEAC例..是否共线与试判断，已知，如图AEACBC3DEAB3ADABCDE解：DEADAEBC3AB3)(BCAB3，AC3BCDE3DEBC//变式二：求证：共线与ECDBDEBC//共线与AEAC不在同一直线上与且DEBC(2)证明三点共线的问题:定理的应用:(1)有关向量共线问题:////CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题:)0(三点共线、、CBABCBCAB例6:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba又AB与AC有公共点A，2ABOBOAababb32ACOCOAababb2ACAB∴A、B、C三点共线.【例2】设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．【解析】∵BD→＝e1－4e2，而A，B，D三点共线，∴AB→与BD→共线，故存在实数λ，使得AB→＝λBD→.即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，得2＝λ，k＝－4λ，得k＝－8为所求．b中，解：在平行四边形ABCD.-baDBbaAC，∵ADBMCa如图:ABCD的两条对角线交于点M,且，用表示bADaAB,.,,,MDMCMBMAba例7:MAMBMCMDAM-AC21.2121baDB21.21-21baAC21.2121baDM-DB21ba212134.34.43.43.,,31.2DCBABPABPBAP的值是（）。则实数若BPPBPBPBPBAPAB343431解析：35.21.32.31.,,3132.4DCBAtABtAPCBCACPABPABC的值为（）。则又上的一点且是中，点在△.31,.313132tABtAPABCACBCACACPAP则又解析：由题，可得【答案】①③