不等式的证明考点与题型归纳

不等式的证明考点与题型归纳一、基础知识1．基本不等式(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b.(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证AB≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．考点一比较法证明不等式[典例]已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.[解](1)f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12＜x＜12，2x，x≥12.当x≤－12时，由f(x)＜2，得－2x＜2，解得x＞－1；当－12＜x＜12时，f(x)＜2恒成立；当x≥12时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.[题组训练]1．当p，q都是正数且p＋q＝1时，求证：(px＋qy)2≤px2＋qy2.解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当x＝y时，不等式中等号成立．2．求证：当a0，b0时，aabb≥(ab)+2ab.证明：∵aabbab+2ab＝ab-2ab，∴当a＝b时，ab-2ab＝1，当ab0时，ab1，a－b20，∴ab-2ab1，当ba0时，0ab1，a－b20，∴ab-2ab1，∴aabb≥(ab)+2ab.考点二综合法证明不等式[典例](2017·全国卷Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.[证明](1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)∵(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3a＋b24(a＋b)＝2＋3a＋b34，∴(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.[解题技法]综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．[题组训练]1．设a，b，c，d均为正数，若a＋b＝c＋d，且abcd，求证：a＋bc＋d.证明：因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd.由题设a＋b＝c＋d，abcd得(a＋b)2(c＋d)2.因此a＋bc＋d.2．(2018·湖北八校联考)已知不等式|x|＋|x－3|x＋6的解集为(m，n)．(1)求m，n的值；(2)若x0，y0，nx＋y＋m＝0，求证：x＋y≥16xy.解：(1)由|x|＋|x－3|x＋6，得x≥3，x＋x－3x＋6或0x3，3x＋6或x≤0，－x＋3－xx＋6，解得－1x9，∴m＝－1，n＝9.(2)证明：由(1)知9x＋y＝1，又x0，y0，∴1x＋1y(9x＋y)＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx×9xy＝16，当且仅当yx＝9xy，即x＝112，y＝14时取等号，∴1x＋1y≥16，即x＋y≥16xy.考点三分析法证明不等式[典例](2019·长春质检)设不等式||x＋1|－|x－1||2的解集为A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求证：1－abcab－c1.[解](1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2，x≥1，2x，－1x1，－2，x≤－1，由|f(x)|2，得－1x1，即A＝{x|－1x1}．(2)证明：要证1－abcab－c1，只需证|1－abc||ab－c|，即证1＋a2b2c2a2b2＋c2，即证1－a2b2c2(1－a2b2)，即证(1－a2b2)(1－c2)0，由a，b，c∈A，得－1ab1，c21，所以(1－a2b2)(1－c2)0恒成立．综上，1－abcab－c1.[解题技法]分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．(3)注意恰当地用好反推符号“⇐”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语．[题组训练]1．已知abc，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac3a.证明：由abc且a＋b＋c＝0，知a0，c0.要证b2－ac3a，只需证b2－ac3a2.∵a＋b＋c＝0，∴只需证b2＋a(a＋b)3a2，即证2a2－ab－b20，即证(a－b)(2a＋b)0，即证(a－b)(a－c)0.∵abc，∴a－b0，a－c0，∴(a－b)(a－c)0显然成立，故原不等式成立．2．已知函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，求证：f(ab)＞f(a)－f(－b)．解：(1)由题意，|x＋1||2x＋1|－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－12时，不等式可化为x＋1＜－2x－2，此时不等式无解；③当x≥－12时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[课时跟踪检测]1．已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B为锐角．证明：要证∠B为锐角，只需证cosB0，所以只需证a2＋c2－b20，即a2＋c2b2，因为a2＋c2≥2ac，所以只需证2acb2，由已知得2ac＝b(a＋c)．所以只需证b(a＋c)b2，即a＋cb，显然成立．所以∠B为锐角．2．若a0，b0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，仅当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，仅当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.3．(2019·南宁模拟)(1)解不等式|x＋1|＋|x＋3|4；(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|a－b||ab＋2a＋2b|.解：(1)当x－3时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1－x－3＝－2x－44，解得x－4，所以－4x－3；当－3≤x－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝－x－1＋x＋3＝24恒成立，所以－3≤x－1；当x≥－1时，|x＋1|＋|x＋3|＝x＋1＋x＋3＝2x＋44，解得x0，所以－1≤x0.综上，不等式|x＋1|＋|x＋3|4的解集为{x|－4x0}．(2)证明：因为4(a－b)2－(ab＋2a＋2b)2＝－(a2b2＋4a2b＋4ab2＋16ab)＝－ab(b＋4)(a＋4)0，所以4(a－b)2(ab＋2a＋2b)2，所以2|a－b||ab＋2a＋2b|.4．(2018·武昌调研)设函数f(x)＝|x－2|＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)当x∈M时，求证：x[f(x)]2－x2f(x)≤0.解：(1)由已知，得f(x)＝x－1，x≤2，3x－5，x2.当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x2时，由f(x)＝3x－5≤－1，解得x≤43，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x|x≤0}．(2)证明：当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x＝－x－122＋14.令g(x)＝－x－122＋14，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.故x[f(x)]2－x2f(x)≤0.5．(2019·西安质检)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，求证：t2＋1≥3t＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝－3x，x≤－1，2－x，－1x12，3x，x≥12，∴f(x)≤3⇔x≤－1，－3x≤3或－1x12，2－x≤3或x≥12，3x≤3，解得－1≤x≤1，即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0，即－1≤x≤12时取等号，∴M＝[3，＋∞)．t2＋1－3t－3t＝t3－3t2＋t－3t＝t－3t2＋1t，∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋10，∴t－3t2＋1t≥0，∴t2＋1≥3t＋3t.6．(2019·长春质检)已知函数f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|.(1)求f(x)2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足a＋b＝12，求证：a＋b≤T.解：(1)f(x)＝|2x－3|＋|3x－6|＝－5x＋9，x32，－x＋3，32≤x≤2，5x－9，x2.作出函数f(x)的图象如图所示．由图象可知，f(x)2的解集为75，115.(2)证明：由图象可知f(x)的最小值为1，由基本不等式可知a＋b2≤a＋b2＝14＝12，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即a＋b≤1＝T.7．已知函数f(x)＝|2x－1|－x＋32.(1)求不等式f(x)0的解集M；(2)当a，b∈M时，求证：3|a＋b||ab＋9|.解：(1)f(x)＝52－x，x－32，－3x－12，－32≤x≤12，x－52，x12.当x－32时，f(x)0，即52－x0，无解；当－32≤x≤12时，f(x)0，即－3x－120，得－16x≤12；当x12时，f(x)0，即x－520，得12x