弹性力学总结与复习(全).

《弹性力学》课程总结与复习一、弹性力学问题研究的基本框架：弹性力学问题基本假设与基本量5个基本假设；15个基本量：ijijiu,,基本原理平衡原理能量原理（单元体）（整体）基本方程控制微分方程（15个）边界条件（6个）平衡微分方程（3个）：几何方程（6个）：物理方程（6个）：应力边界条件（3个）：位移边界条件（3个）：0,ijijX)(21,,ijjiijuuijijXniiuu——数学上构成偏微分方程的定解问题求解方法ijkkijijE)1(1求解方法函数解精确解；近似解；（如：基于能量原理的解）数值解（如：有限差分法、有限单元法等）实验方法二、弹性力学平面问题的求解（1）按未知量的性质分：按位移求解；按应力求解；（2）按采用的坐标系分：直角坐标解答；极坐标解答；（3）按采用的函数类型分：级数解；初等函数解；复变函数解；1.平面问题的求解方法逆解法；半逆解法；2.平面问题求解的基本方程（1）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1()(2222（2-23）（3）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）（平面应力情形）（1）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（2）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。说明：3.常体力下平面问题求解的基本方程与步骤：（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,,然后将代入式（2-26）求出应力分量：),(yx先由方程（2-27）求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。xyyx,,04YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-18）uus（2-17）vvs直角坐标下（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数),(r0112222224rrrr（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：rr,,22r22211rrrrrrr1（4－5）（3）将上述应力分量rr,,满足问题的边界条件：位移边界条件：,rsruuuus应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruur,为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）极坐标下4.平面问题Airy应力函数的选取：直角坐标下)(yxfy0y)(yfyxyOblx习题：3-1，3–2，3–3，3-40ygggyxyO),(yx3223dycxyybxaxpp)(yfy)(yfyp0)(yxfy极坐标下（1）轴对称问题DCrrBrrA22lnln（4－11）应力函数应力分量CrBrAr2)ln21(2CrBrA2)ln23(20rr（4－12）位移分量（4-13）cossin4KIHrEBrusincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。（2）圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题2轴对称问题非轴对称问题2cos)(rf2cos1224rDCBrAr)(2fr（3）楔形体问题——由因次法确定应力函数的分离变量形式（1）楔顶受集中力偶xyO22P)(rfxyO22M)(（2）楔顶受集中力（3）楔形体一侧受分布力)(3frxyO22PxyO22)(2fr)(2fr2cos2ArDCB2sinDAr2cos2)(rf)sincos(BArsinBr)(2frDAr2cos2sinBrDAr2cos2PxyO22)(rf)sincos(BArsinBr)(2frDAr2cos2sinBrDAr2cos2PxyO22cosBrDAr2cos2（4）曲梁问题)()()()(21rfqrfM)()(3rfQr其中：q为曲梁圆周边界上的分布载荷。M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定应力函数：22r)(rfsin)(rfcos)(rf)(rfsin)(rfcos)(rfPxPyPP1P2PMsin)(rf??M（5）半平面问题PxyOrxyOrMqxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr利用叠加法求解练习：（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力与剪应力间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。yx,xy（2）z方向（垂直于板面）很长的正六面体，上边界受均匀压力p作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。2Ax022yxAxy22202yxxy?z（3）有一薄壁圆筒的平均半径为R，壁厚为t，两端受相等相反的扭矩M作用。现在圆筒上发现半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？（4）已知圆环在r=a的内边界上被固定，在r=b的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。Ar),(qqqqqqqq45°平面问题复变函数方法的求解思路复变函数方法——应力函数法将寻求应力函数U的问题转化为寻求两个解析函数的问题)(),(11zz利用保角变换，将求解的区域D变换为一个中心单位圆域；再利用解析函数在闭环上的积分性质，求出。)(),(（1）（2）（3）应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示)()(2111zzzzU)()(11zz（5-5）（1）（2）xyyxi2)()(211zzz（5-9）yx)()(211zz)(Re41z（5-8）)()(11zz其中：5.平面问题的复变函数解法（3）)()()(1)3(1)(111zzzzivuE（5-10）BAsdsYXzzzz)i(i)()()(111（5-12）——应力边界条件的复变函数表示1)()()()(13111viuEzzzzs（5-13）——位移边界条件的复变函数表示（4）多连体及无限大多连体中，结构特点)(),(11zz（1）一般多连体：)()ln()i(81)(111zzzYXzkmkkk)()ln()i(83)(*111zzzYXzkmkkk（5-14）其中：多连体及无限大多连体中，结构特点)(),(11zz（1）一般多连体)()ln()i(81)(111zzzYXzkmkkk)()ln()i(83)(*111zzzYXzkmkkk（5-14）（保证多连体中应力和位移的单值性。）)(),(11zz为该多连体中单值解析函数。)i(kkYX为第k个内边界上面力主矢量。（2）无限大多连体)(ln)i(81)(011zBzzYXz)()i(ln)i(83)(011zzCBzYXz（5-15）其中：mkkmkkYYXX11,22101)(zazaz22101)(zbzbz（5-16）（2）无限大多连体)(ln)i(81)(011zBzzYXz)()i(ln)i(83)(011zzCBzYXz（5-15）其中：mkkmkkYYXX11,22101)(zazaz22101)(zbzbz（5-16）421BCBii2212)(e（5-17）BAsdsYXzzzz)i(i)()()(111（5-12）——应力边界条件的复变函数表示1)()()()(13111viuEzzzzs（5-13）——位移边界条件的复变函数表示保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示（1）保角变换)(z常用的保角变换函数：椭圆孔口mRz1)(其中，2baRbabam圆孔口az)(（a为圆孔半径）裂隙（裂纹）12)(az正方形孔口)(z11731761561611R圆盘或圆柱Rz)(（2）曲线坐标下基本量及公式的表示)()()(111z)()()(111z（5-19）)(/))()(1zΦ)(/)()()(11zΦ)(/)()()(11z（5-20）)()()()()(1)3()()(1)(iuuE——曲线坐标中位移分量的复变函数表示（5-22）)(Re4)()(2ΦΦΦi2)()()()()(222ΨΦ（5-23）——曲线坐标中应力分量的复变函数表示BAdsYX)i(i)()()()()(——曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示无限大孔口问题的求解方法（1）由孔口的形状，确定保角变换函数)(z（2）由式（5-30）求出)()()(81ln2i)i(i0iYXYXdsYXf)()()(2CiBB（5-30）（3）由式（5-35）、（5-36）求出（5-36）di)()()(21)(00dfi021di)()()(21)(00dfi021（5-35）（4）由式（5-25）、（5-26）求出)()(ln)i(81)(0BYX)()()i(ln)i(83)(0CBYX（5-25）（5-26）（5）由式（5-22）、（5-23）求出)()()()()(1)3()()(1)(iuuE（5-22）——曲线坐标中位移分量的复变函数表示)(Re4)()(2ΦΦΦi2)()()()()(222ΨΦ（5-23）——曲线坐标中应力分量的复变函数表示两个重要积分——C