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数学第一章数与式第3节整式与因式分解2代数式1．代数式：用______________把数和字母连接而成的式子叫做代数式．单独一个数或一个字母也是代数式．2．代数式的值：用__________________代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算就可以求出代数式的值．3．列代数式：列代数式时关键是弄清数量关系和运算________，正确使用____________，规范书写．运算符号具体数值顺序括号3整式4．单项式：只含数与字母的____的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．5．多项式：几个单项式的____叫做多项式．6．整式：_________和___________统称整式．7．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的_________叫做这个单项式的次数．8．单项式的系数：单项式中与________相乘的数叫做单项式的系数．9．多项式的次数：一个多项式中，____________的项的次数，叫做这个多项式的次数．积和单项式多项式指数和字母次数最高4同类项、合并同类项10．同类项：所含字母________，并且相同字母的指数也分别_______的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．11．合并同类项：多项式中同类项可以合并成一项，只要把同类项的_______相加，_______和___________不变．相同相同系数字母字母的指数5整式的运算12．整式加减的实质是：去括号，_________________________．13．幂的运算性质(a≠0，m，n为整数)：am·an＝____________，(am)n＝_______，(ab)n＝_______，am÷an＝________．14．整式乘除：(1)单项式乘单项式：把系数和___________分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的________一起作为积的一个因式；(2)单项式乘多项式：m(a－b＋c)＝______________；(3)多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__________________；合并同类项am＋namnanbnam－n同底数幂指数am－bm＋cmac＋ad＋bc＋bd6(4)乘法公式：(a＋b)(a－b)＝____________；(a±b)2＝_____________；(a＋b)2＝(a－b)2＋__________；(a－b)2＝(a＋b)2－_________；a2＋b2＝(a＋b)2－__________＝(a－b)2＋________；(5)单项式除以单项式：将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的________作为商的一个因式；(6)多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的____相加．a2－b2a2±2ab＋b24ab4ab2ab2ab指数商7分解因式15．把一个多项式化成几个_______的____的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．16．分解因式与整式乘法的关系：多项式______________整式的积．整式积整式乘法因式分解分解因式的基本方法17．提公因式法：ma＋mb＋mc＝________________．18．运用公式法：(1)平方差公式：a2－b2＝__________________；(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝______________．m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)289实际问题中的代数式【例1】甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.那么顾客到哪家超市买这种商品更合算()A．甲B．乙C．丙D．一样点拨：设商品的原价为m，用代数式表示出三家超市降价后的价格，然后比较．甲超市的售价为m(1－20%)·(1－10%)＝0.72m，乙超市的售价为m(1－15%)2＝0.7225m，丙超市的售价为m(1－30%)＝0.7m，显然到丙超市合算．C10整式的概念及运算【例2】(1)若x3ym－4与xn＋1y5是同类项，则m2＋n2＝____．(2)(2015·西宁)下列计算正确的是()A．a·a3＝a3B．a4＋a3＝a2C．(a2)5＝a7D．(－ab)2＝a2b2(3)(2015·长沙)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－x(x＋y)＋2xy，其中x＝(3－π)0，y＝2.解：原式＝xy－y2，当x＝(3－π)0＝1，y＝2时，原式＝－285D11因式分解【例3】(1)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)(2)(2015·贵港)下列因式分解错误的是()A．2a－2b＝2(a－b)B．x2－9＝(x＋3)(x－3)C．a2＋4a－4＝(a＋2)2D．－x2－x＋2＝－(x－1)(x＋2)点拨：(1)因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式；(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”．DC12因式分解不完整或不理解概念．【例4】(1)下列因式分解：①a2－3a＋5＝a(a－3)＋5；②x3－4x＝x(x2－4)；③x2－2x＋4＝(x－2)2；④x2＋x＋14＝(x＋12)2.正确的有____．(2)(2015·台州)把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是()A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D．2x(x－4x)④C13141．某商品原价为a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次性降价20%，降价后这种商品的价格是()A．a(1＋10%)2(1＋20%)元B．a(1＋10%)(1－20%)元C．a(1＋10%)2(1－20%)元D．a(1＋10%)(1＋20%)元2．(2014·毕节)若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，则mn的值是()A．2B．0C．－1D．1CD153．(2015·泰安)下列计算正确的是()A．a4＋a4＝a8B．(a3)4＝a7C．12a6b4÷3a2b－2＝4a4b2D．(－a3b)2＝a6b24．下列计算正确的是()A．－3x2y·5x2y＝2x2yB．－2x2y3·2x3y＝－2x5y4C．35x3y2÷5x2y＝7xyD．(－2x－y)(2x＋y)＝4x2－y2DC165．下列分解因式正确的是()A．－a＋a3＝－a(1＋a2)B．2a－4b＋2＝2(a－2b)C．a2－4＝(a－2)2D．a2－2a＋1＝(a－1)26．因式分解：3m(2x－y)2－3mn2＝_____________________________；a3＋a2－a－1＝___________________________．D3m(2x－y＋n)(2x－y－n)(a＋1)2(a－1)177．先化简，再求值：(1)(2015·丽水)a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝33；(2)(2015·衡阳)a(a－2b)＋(a＋b)2，其中a＝－1，b＝2.解：原式＝－3a＋1，当a＝33时，原式＝－3＋1解：原式＝2a2＋b2，当a＝－1，b＝2时，原式＝4188．(2015·益阳)下列运算正确的是()A．x2·x3＝x6B．(x3)2＝x5C．(xy2)3＝x3y6D．x6÷x3＝x29．(2015·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是()A．3x(x2－4x＋4)B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2)D．3x(x－2)210．(2015·莱芜)已知m＋n＝3，m－n＝2，则m2－n2的值为____．CD61911．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)，其中a＝1，b＝－12.解：原式＝a2＋b2，当a＝1，b＝－12时，原式＝5412．(2015·北京)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．解：原式＝2a2＋3a＋1，又2a2＋3a＝6，∴原式＝720211．(2015·湖州)当x＝1时，代数式4－3x的值是()A．1B．2C．3D．42．(2015·宁波)化简－16(x－0.5)的结果是()A．－16x－0.5B．16x＋0.5C．16x－8D．－16x＋83．(2015·南京)计算(－xy3)2的结果是()A．x2y6B．－x2y6C．x2y9D．－x2y9ADA224．(2015·海南)下列运算中，正确的是()A．a2＋a4＝a6B．a6÷a3＝a2C．(－a4)2＝a6D．a2·a4＝a65．(2015·莱芜)下列计算结果正确的是()A．(－a3)2＝a9B．a2·a3＝a6C．(12)－1－22＝－2D．(cos60°－12)0＝16．(2015·呼和浩特)下列运算，结果正确的是()A．m2＋m2＝m4B．(m＋1m)2＝m2＋1m2C．(3mn2)2＝6m2n4D．2m2n÷mn＝2mn2DCD237．(2015·龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋98．(2015·贺州)把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)DB249．当x＝1时，代数式12ax3－3bx＋4的值是7，则当x＝－1时，这个代数式的值是()A．7B．3C．1D．－710．(2014·威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1)－2的值是()A．－2B．0C．2D．4CB2511．如图，边长为(m＋3)的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是()A．m＋3B．m＋6C．2m＋3D．2m＋6C2612．(2015·咸宁)端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖__________元．13．(2015·北京)分解因式：5x3－10x2＋5x＝______________．14．(2015·绵阳)在实数范围内因式分解：x2y－3y＝___________________．15．(2015·菏泽)若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝____．16．(2015·苏州)若a－2b＝3，则9－2a＋4b的值为____．54a5x(x－1)2y(x＋3)(x－3)4317．(2015·随州)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－12.解：原式＝4－2ab，当ab＝－12时，原式＝52718．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由___________个▲组成.3n＋12819．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a＋b)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数．例如，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出(a－b)4的展开式为______________________________________．a4－4a3b＋6a2b2－4ab3＋b42920．(2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92