2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第八章 第7讲 空间中角与距离的计算

第7讲空间中角与距离的计算空间向量的应用.(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.1.异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′.那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所(0°，90°]成的角，其范围是____________.(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的角等于0°.90°(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于____.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.2.直线与平面所成的角从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做____________.直二面角4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.二面角1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()BA.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(－1，－2,3)D.(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向CA.－4C.－8B.－6D.8量为1，12，2，则m＝()解析：∵l∥α，平面α的法向量为1，12，2，∴(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0.∴m＝－8.3.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为()A.(1，－1,1)C.(－2,1,1)B.(2，－1,1)D.(－1,1，－1)解析：显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则a·n＝0，b·n＝0.∴2x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0.令z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝(－2,1,1).C4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为______.图8-7-1105考点1线面所成角的计算例1：(2014年福建)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图8-7-2.(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.图8-7-2(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)解：如图D41，过点B在平面BCD内作BE⊥BD.图D41由(1)知，AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图D41).依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M0，12，12.则BC→＝(1,1,0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0,1，－1).则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0.取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AD→〉|＝n·AD→|n||AD→|＝63，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.【互动探究】1.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.33C.23D.63解析：因为BB1∥DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设DO⊥平面ACD1，由等体积法得1DACDV＝1DACDV，即13S△ACD1·DO＝13S△ACD·DD1.设DD1＝a，则1ACDS＝12AC·AD1sin60°＝12×(2a)2×32＝32a2，S△ACD＝12AD·CD＝12a2.所以DO＝记DD1与平面ACD1所成角为θ，答案：D＝a33a2＝33a.则sinθ＝DODD1＝33.所以cosθ＝63.考点2面面所成角的计算图8-7-3例2：(2014年湖南)如图873，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值.(1)证明：如图D42，因为四边形ACC1A1为矩形，图D42所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.(2)解：方法一：如图D42，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1⊥B1D1.从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1.于是OB1⊥平面O1HC1，则OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，OB1＝7.在Rt△OO1B1中，易知O1H＝OO1·O1B1OB1＝237.又O1C1＝1，则C1H＝O1C21＋O1H2＝1＋127＝197.故cos∠C1HO1＝O1HC1H＝237197＝25719，即二面角C1­OB1­D的余弦值为25719.方法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直.如图D43，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB＝2.图D43因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1.故O(0,0,0)，B1(3，0,2)，C1(0,1,2).易知，n1＝(0,1,0)是平面BDD1B1的一个法向量.设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则n2·OB→1＝0，n2·OC→1＝0，即3x＋2z＝0，y＋2z＝0.取z＝－3，则x＝2，y＝23，所以n2＝(2,23，－3).设二面角C1­OB1­D的大小为θ，易知θ是锐角，于是cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝n1·n2|n1||n2|＝2319＝25719.故二面角C1­OB1­D的余弦值为25719.【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小【互动探究】2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_________.图D44解析：方法一：建立如图D44所示的空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为3，则BE＝FC1＝1，EB1＝CF＝2，且有A(3,3,0)，B(3,0,0)，E(3,0,1)，F(0,0,2)，C(0,0,0)，AE→＝(0，－3,1)，AF→＝(－3，－3,2)，CF→＝(0,0,2).设面AEF的一个法向量n＝(x，y，z)，n⊥AE→，n⊥AF→⇒－3y＋z＝0，－3x－3y＋2z＝0⇒x＝y＝z3.令z＝3，得n＝(1,1,3)，n＝11.又CF→＝(0,0,2)是面ABC的一个法向量，∴cos〈n，CF→〉＝n·CF→|n||CF→|＝6211＝311.∴sin〈n，CF→〉＝211.∴tan〈n，CF→〉＝23.方法二：延长FE交CB的延长线于点G，连接AG，则AG为面AEF与面ABC的交线，由B1E＝2EB，CF＝2FC1，得CF＝2BE，∴B为GC中点.设正方体的棱长为1，则AG＝AC＝2.又GC＝2，∴AC2＋AG2＝GC2.∴∠CAG＝90°.∵FC⊥平面ABC，∴FA⊥AG.∴∠CAF是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角.在Rt△ACF中，tan∠CAF＝CFAC＝232＝23，故面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于23.答案：23考点3空间距离的计算例3：如图8-7-4，S是△ABC所在平面外一点，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求点A到平面SBC的距离.图8-7-4解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC交BC延长线于点D，连接SD.图8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.过点A作AH⊥SD于H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB×sin60°＝3a，∴AH＝SA×ADSA2＋AD2＝3a×3a(3a)2＋(3a)2＝32a，即点A到平面SBC的距离为32a.方法二：设A到平面SBC的距离为h，∵VS­ABC＝VA­SBC，∴13×SA×S△ABC＝13×h×S△SBC，其中SA＝3a.在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4a2＋4a2－2×4a2×－12＝23a，S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a×32＝3a2.在△SBC中，SB＝SA2＋AB2＝13a，BC＝2a，SC＝SA2＋AC2＝21a.cos∠SBC＝13a2＋4a2－21a22×13a×2a＝－113，于是h＝∴sin∠SBC＝1－113＝23913.∴S△SBC＝12×SB×BC×sin∠SBC＝12×13a×2a×23913＝23a2，＝3a·3a223a2＝32a.方法三：如图8-7-6，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.图8-7-6∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，∴AC＝AB