1-复数及其运算

复变函数与拉氏变换主讲栾静闻机动目录上页下页返回结束珞珈学院§1.1复数及其运算第一章复数与复变函数§1.2复变函数机动目录上页下页返回结束珞珈学院机动目录上页下页返回结束§1.1复数及其代数运算一.复数及其代数运算二.复数几何表示三.复数的四则运算及其几何意义四.复数的乘幂与方根*五.复球面、扩充复平面珞珈学院珞珈学院§1.1复数及其运算一.复数及其代数运算运算的封闭性使得数的概念不断扩张，自然数整数减法除法有理数极限开方实数复数机动目录上页下页返回结束开方2.复数1.虚单位1i虚单位：，且一般地，;1,,1432iiii。iiiiiikkkk3424144,1,,1复数形如或。iyxz),(Ryxyix复数的虚部记为，yz)Im(z0ixx实数可看作复数，。CR因此纯虚数是复数：yiyi0机动目录上页下页返回结束珞珈学院复数的实部记为，xz)Re(zR全体实数集C全体复数集3.共轭复数称实部相同而虚部为相反数的两个数，即iyxiyx和互为共轭复数，简称共轭数。设，iyxz则复数的共轭复数记为ziyxiyxz4.复数的相等若且，则称复数与复数相等。vyuxiyxzivuw机动目录上页下页返回结束复数没有序关系,任意两个复数不能比较大小。珞珈学院二.复数几何表示1.复平面与复数的几何表示复数的直角坐标表示法：Ox(横轴)y(纵轴)Ox(实轴)y(虚轴)实平面复平面实平面上的点),(yx11iyxz复平面上的点),(yxyxyixiyxz机动目录上页下页返回结束珞珈学院iyxz复数的代数表示法复数的极坐标表示：Ox(实轴)y(虚轴)yixiyxzriyxzr表示向量的长度，称之为复数的模，记为z22||||yxiyxzriyxz表示以x轴正向为始边，以向量为终边的角度，称之为复数的辐角，记为，辐角不唯一。zzArg称满足的辐角为的主辐角，记为，0zzarg0因此。ZkkzzArg,2arg复平面与复数的几何表示（续）0z复数时，辐角无定义。机动目录上页下页返回结束珞珈学院Z全体整数集由极坐标变换知：Ox(实轴)y(虚轴)yixr;sin,cosryrx复数可表示为：z),sin(cosiriyxz称之为复数的三角表示。z复平面与复数的几何表示（续二）机动目录上页下页返回结束珞珈学院复数的三角表示法：),sin(cosiriyxz3.复数的主辐角计算zarg;0,x,xyarctan;0,x,xyarctan0y0y0y0yOyxzargzzzargOyxzzargzzargzargOyxxyarctanxyarctan)0,0(,0yx)0,0(,yx2)0,0(,yx)0,0(,yx2机动目录上页下页返回结束珞珈学院例1.1.1将下列复数化为三角表示式：;212)1(iz。5cos5sin)2(iz解;4412||)1(zr由于在第三象限，根据主辐角计算公式：z。6533arctan122arctanargz所以的三角表示式为：z。65sin65cos4iz机动目录上页下页返回结束珞珈学院。5cos5sin)2(iz解;15cos5sin||)2(22zr,103cos52cos5sin,103sin52sin5cos所以的三角表示式为：z。103sin103cosiz机动目录上页下页返回结束珞珈学院三.复数的四则运算及其几何意义1.复数的加(减)法)()(212121yyixxzz加减法的几何意义Oxy1z2z21zz1z2z2z21zzOyx21zz机动目录上页下页返回结束珞珈学院2z2.复数的乘法))((221121iyxiyxzz)()(21212121xyyxiyyxx3.复数的除法2222211222222121yxyxyxiyxyyxx))(())((22222211221121iyxiyxiyxiyxiyxiyxzz机动目录上页下页返回结束珞珈学院4.复数的运算律（1）加法、乘法运算律12211221,zzzzzzzz,)()(321321zzzzzz3121321)(zzzzzzz结合律交换律321321)()(zzzzzz分配律机动目录上页下页返回结束珞珈学院（2）共轭运算律21212121;zzzzzzzz);0(21221zzzzz;)(Im)(Re222zzzzz.zizz,zzzIm2Re2;zz机动目录上页下页返回结束珞珈学院（3）模的性质;||;||||22z|z|zzzz三角不等式|;||||||;||||||;|||||21212121yxzzzzzzzzz|||||;|||zyzxOyxz1z2z2z1+z2Oyxz|x||y||z|机动目录上页下页返回结束珞珈学院机动目录上页下页返回结束例1.1.2证明对任意两个复数,,21zz下式成立：。)Re(2212121zzzzzz证明（方法一）设则,,222111iyxziyxz证明（方法二）)()(21122121yxyxiyyxx))(())((221122112121iyxiyxiyxiyxzzzz)()(12212121yxyxiyyxx)Re(2)(2212121zzyyxx)Re(221212121212121zzzzzzzzzzzzzz珞珈学院四.复数的乘幂与方根1.复数的乘积与商定理1.1.1设),sin(cos1111irz),sin(cos2222irz则)],sin()[cos(21212121irrzz。)]sin())[cos(/(/21212121irrzz证明)sin(cos)sin(cos22211121irirzz)sinsincos[(cos212121rr)]sin()[cos(212121irr)]cossincos(sin1221i机动目录上页下页返回结束珞珈学院复数乘法的几何意义xyO2z11argz将向量旋转角度后，21zz211z112z221rr||11zr再将它的长度伸缩倍，所21zz得即为向量。特别地，当时，向量z1z2就是将向量z2旋转角度1||1z所得的向量。11argz机动目录上页下页返回结束珞珈学院推论1.1.2|,|||||212121zzrrzz;)(212121ArgzArgzzzArg|,|/||/|/|212121zzrrzz。212121)/(ArgzArgzzzArg推论1.1.3(DeMoive公式)。)sin(cosninrznn2.复数的乘方与开方(1)乘方nnzzz机动目录上页下页返回结束珞珈学院(2)开方设，zwn则称是的次方根。wzn记为，nzw1nz表示的次方根的主值。zn方根的计算公式设，则)sin(cosirz。Zknkinkrzwnn),2sin2(cos1机动目录上页下页返回结束珞珈学院证明),sin(cos)sin(cosirninn设由，得),sin(cosiwzwn,2knrn则。Zkknrn,2即所以。Zknkinkrzwnn),2sin2(cos1n次方根有n个相异的根。由正弦、余弦函数的周期性可知，非零数的机动目录上页下页返回结束珞珈学院方根的几何意义θ/nw1wk-1wkwn-1xyOnrw0z机动目录上页下页返回结束2π/n)sin(cos0ninrwn。Zknkinkrzwnn),2sin2(cos1)2sin2(cos1ninrwnnnrwnn)1(2(cos1))1(2sinnni0))2sin()2(cos(wninrwnn珞珈学院方根的几何意义θ/nw1wk-1wkwn-1xyOnrw0z机动目录上页下页返回结束2π/n。Zknkinkrzwnn),2sin2(cos1以原点为圆心，以为半径的圆周，作辐角为的射线，nrn/交于圆周上的点；0w为顶点作圆周的内接正n以0w边形，其n个顶点就对应着z的n次方根的n个值：。110,,,n珞珈学院机动目录上页下页返回结束。Zknkinkrzwnn),2sin2(cos1例1.1.3求。41)1(i解,411arctanarg,2||,1zzizZkkiki),42sin42(cos2)1(44841),16sin16(cos280iw),169sin169(cos281iw),1617sin1617(cos282iw。)1625sin1625(cos283iw珞珈学院五.复球面、扩充复球面复球面OxyPzSN单位球面切于复平面于原点O,球面上点S与点O重合,点S的对径点为N。S-----南极点N-----北极点,NP球面上任意点直线PN与复平面交于点z,即得球面(除去北极点N外)与复平面上点的1－1的对应关系。,z复平面上任意点直线zN与球面交于点P，机动目录上页下页返回结束珞珈学院扩充复平面对于球面上的北极点N，在复平面C上没有对应点。设想在复平面上增加一个理想点∞,即无穷远点与之对应,由此得到的扩充复平面与球面1-1对应。}{C关于新“数”∞需作如下几点规定：(1)复平面上每一条直线都通过点∞，同时没有一个半平面包括点∞;(2)∞的实部，虚部及幅角都无意义,|∞|=+∞;(3)b≠0(但可为∞)时，∞·b=b·∞,b/0=∞;(4)a≠∞时,∞/a=0,a/0=∞,∞±a=a±∞=∞。(5)运算∞±∞,0·∞,∞·0,∞/∞,0/0无意义。机动目录上页下页返回结束珞珈学院作业P251.1.1(a)(b);1.1.7(a)(c)(d);1.1.18(a)(c);1.1.19(a)1.2.1(b)(c)(d)机动目录上页下页返回结束珞珈学院再见！机动目录上页下页返回结束珞珈学院