声波在非均匀介质中的传播

1声波在非均匀介质中的传播摘要：运用声波传播的基本理论以及数理知识推导出理想介质中声波的三个基本方程，将其应用在理想均匀介质中得出小振幅声波传播的波动方程，应用以上知识获得非均匀介质中的波动方程，给出它的几种解析解的形式并推其解非解析解的求解方法和需要考虑的因素。使用有限元法来构建声波在一维非均匀介质中传播的模型，推测求解思路和方程解的方法（只分析较为简单的情况，给出解析式进行分析即可。)关键词：波动方程；有限元法；非均匀介质1绪论1.1声的基本概念声，一般是指人耳能够感受得到的空气的振动，就是人耳能够听得到的声音。而人耳可以感受到频率为20Hz~20000Hz，超过这个频率的为超声波，低于的则为次声波。声波的传播也是能量的传播，遵循能量守恒定律。声波是机械波，有机械波所有的性质，声波以机械波的方式向四周放射能量，依靠介质传递能量，所以，声波不能在真空中传播。声波为机械波，分横波与纵波两种。依据引起介质质点振动的振源的不同，声可分为气动声和机械声两种。物体在流体中运动或流体流动引起流体振动产生的声即为气动声，而机械结构振动产生的声则为机械声。由于声波依靠介质传播，所以介质的温度，密度等的变化都将会影响声波的传播。声波是波的一种，它有所有的波都通有的折射，反射，干涉，衍射，散射等性质。1.2声波的应用声波在非均匀介质中的传播在许多领域有着十分重要的应用。如：利用声波的散射性原理，研究的超声造影剂可以很大程度提高超声波图像的清晰度与对比度，在超声波呈像诊断中有极大的研究价值；研究声波在非均匀介质中的传播性质和规律对探讨火山内的地振声学具有巨大价值。此外还有声波测距，声波测速，声波检漏，声波清灰，声波除噪（隔离噪音），水声网络（水下通信网和陆地通信网连接起来，形成覆盖全球的立体信息网）......2声波传播的基本理论2.1理想流体中小振幅波的基本理论2.1.1基本理论声振动中满足：①质量是一定的，它不会无缘由的消失或增加；②有力的存在就会有为了简化流体里声波比较复杂的传播,我们对其进行如下假设：介质是理想流体；在无声扰动的情况下，媒质在微观上是运动的；声波传播时，媒质是绝热的；其变量都很小可以不予考虑。基于以上四个假设，我们推导出来的运动方程是线性的。2.1.2基本方程21.运动方程：图一声场中介质的作用力示意图我们取一形状规则的微小范围，如图一，它的体积是Sdx(S是其侧面积)，因声压P随着x的改变产生变化,所以其左侧上面受到的力和在右侧上面受到的力是不等，那么就会有一个合外力使质点沿合外力方向运动。当声波通过时，左侧受到的压强是pP0，其所受力是：SpPF01（2-1-1）1F的方向是沿x正方向的；规则范围右侧的压强是dppP0，其中dxxppd是从x变为dxx之后P的变化量，因此规则范围右侧受力为：SdpPFp02（2-1-2）向沿x负方向；因0P不随着x的改变而改变，所以作用在该规则范围上的合外力沿x方向为：dxxpSFFF21（2-1-3）这个小规则范围质量是Sdx，因为有F，它获得一个x轴向的加速度是dtvd，由此按照牛二定律有：SdxxpdtdvSdx（2-1-4）整理后可得：xpdtd（2-1-5）此即为有声扰动时的媒质运动方程，描述的是声场里质点速度和压强P之间的关系。2.连续性方程：3图二媒质中质量分布情况图连续性方程实质上就是质量守恒定律，是指同样时刻里流出与流进这个体积元的质量的差值就是它减少或者增长的质量。如上图二所示，取一个很小的规则的范围其体积为Sdx，假若在其左面x处质点的速度是xv，密度是x，那么同样时刻里通过左面流入的质量应为Svx，而通过右面所流出的质量是Svdxx，负号代表的是流出。取它的泰勒展开式的一级近似Sdxxvvxx。由此得到单位时刻里纯流进的质量是Svdxx(、、x是关于的函数，以下式子皆不再标注下角标x)。如此体积没变而质量增长了，这表明增加了，我们可以假设单位时刻的增多量是t，那么可以求得质量增量是Sdxt。因为体积元内的质量不会无缘由的增长或消逝，因而单元时刻内微小规则范围内增长的就是纯流进其内的，即：SdxtSdxxv-（2-1-6）整理后可得：vxt（2-1-7）这即是声场中媒质的连续性方程，描述的是媒质质点的速度和密度之间的关系。3.物态方程：当有声波通过时，小规则范围内的密度、压强、温度就会产生改变，且改变是彼此联系的，介质的如此情况的变化规律我们能够用热力学状态方程来表述。因为热传导远远比声波传播使体积改变慢，所以能够把这个过程看做是绝热的，热力学状态方程来表述介质的这个情况。如此可以认为P仅是的函数，即:PP（2-1-8）所以因为声扰动导致的P和的微小增加量都适用于下面的式子：ddPPsdd（2-1-9）下标“S”表示绝热过程。因为P和的改变方向一样，所以当把介质压缩时，那么P和都增大，即0dP，0d；而膨胀时，P和都减小，即0dP，0d。所以系数SddP恒大于零，用2c表示，即：dcP2d（2-1-10）此为理想流体介质中有声扰动的物态方程，描述的是声场里压强P的微小变量与密度的微小变量的关系。42.1.3小振幅声波的一维波动方程考虑到方程中各个声学量是非线性的关系，因而不能用消掉一些方程中的一些物理量的方法来获得只有一个参量的声波方程。考虑到我们作的假设声波振幅很小，其的各个变量都随着时间、位置的改变引起的变改变皆是微小量，其平方项以上的微量就更是微量了，这样的话就能够忽视，如此即能化简基本方程了。（1）运动方程已知媒质运动方程为：xpdtd（2-1-5）xpt0（2--1-11）因为0还是个变量，而质点的加速度是dtd，因为质点的速度跟着时间改变而得到的本地加速度为t；由于质点移动一段距离后，速度因跟着位置的改变获得的迁移加速度是xdtdxx，因此得到简化方程：（2）连续性方程已知媒质的连续性方程为：xt（2-1-7）因0，0是无声扰动时介质的静态密度，它不跟着时刻和位置的改变而改变，把代入上式，略去微量即得简化的方程：x0t（2-1-12）（3）物态方程已知媒质的物态方程dcP2d（2-1-10）中的系数ddp2c，一般来说并不是常数，可能是P或者的函数。但是因为其为小振幅声波相对很小忽略它的二次及以上的微量，然后在平衡态附近展开如下：0,dpssddpd（2-1-13）则有0,20csddp，可见对小幅振波20c近似常数。通过近似后，我们思虑对声波dcP2d里压强的微分就是声压P，那么同样的其密度微分就是密度增量，那么物态方程可化简为以下形式：20pc（2-1-14）5简化后方程如下：xpt0（2-1-11）x0t（2-1-12）20pc（2-1-14）由上述方程组都是线性的，可消去P、、中随便俩，比方将（2-1-14）对t求导后代入（2-1-12）得：tpx200c（2-1-15）将上式对t求导得：222200ctpxt（2-1-16）代入（2-1-11）得：2220221ptpcx（2-1-17）这即为均匀理想流体介质中小振幅声波的波动方程。2.2非均匀介质中的波动方程2.2.1非均匀介质中的波动形式声波在非均匀介质中传播时，因为介质的密度，压强，温度和声速随着空间位置的改变而改变的性质就是介质的非均匀性。例：水中的温度随深度的加深而改变,那么水的密度是空间位置的函数。根据前面的知识,能够推出非均匀媒质中的波动方程：0122xpxcxxpx（2-2-1）若上式中密度与声速全部都是常数,那么可已得出赫姆霍兹方程:0p2002xpcx（2-2-2）介质的非均匀性大部分可以反映在温差上,由介质的和可以表示成如下形式：00xcTxTc（2-2-3）xx00TT（2-2-4）对任意非均匀媒质，已知它的温度场在空间及时间上的分布，再由方程理论上获得P在空间的分布。经探究得知，仅有极少部分的温度分布能够知道到P在空间分布的解析形式,6大多数情况都仅能够获得数值解。2.2.2几种解析解的形式声波在不均匀媒质中传播的波动方程的另外一种形式为:pptpc112222（2-2-5）式中c为声速，为介质密度。由上式和声波强度式可得声波因的改变导致的改变很小。实际的使用中，P随tje而变化。假设沿z轴方向传播变化，也就是说z那么赫姆霍兹方程则成为：dzdpdzdppk1122（2-2-6）上式中ck（2-2-7）声压垂直于传播方向的平面内只存在相位上的变化,即声压可写成下面的形式：zpeykxkiyxp（2-2-8）当介质的密度仅在一个方向上发生改变时,声波方程写为：01d222pkdzdpdzddzpz（2-2-9）式中0k2222zyxkkk（zk为实数）（2-2-10）引入变量zq，令zq21p（2-2-11）代入（2-2-6）中得：0d222qdzq（2-2-12）上式中：2222214321kdzddzdz（2-2-13）由求偏微分方程的原理知,是常数时，（2-2-12）有解析解，即：constdzddz222143d21（2-2-14）上面式子里的常数能是负数、零、正数。我们来探究在不一样的前提下方程的解析解的几种形式。71）当0k-22z令222k-bz可得（2-2-6）的解为：02seczzzbA（2-2-15）式中0z，A是常数，是由前提条件确定的，我们可知在解析解的形式为：ziezzb0secp（2-2-16）其中222kbz（2-2-17）2）当0k-2z2时，一样可得方程（2-2-6）的解为：20zzzA（2-2-18）上式中0z、A为随便一个常数，那么我们可得到解析解的形式是为：0pzzezjkz（2-2-19）当0zz时，传播越远，声压减少，而0zz当时，相反的情景在实真实情景中并不存在。3）当0k-2z2令22z241k-a方程（2-2-6）的解为：2zaeAeazaz（2-2-19）上式中A可以是任意常数，当z非常小时，密度的分布类似于aze函数，当z较大时，密度的分布类似aze函数。声波在非均匀介质中传播情况较复杂，综上所述，只有当密度或温度的变化形式和给定的情形吻合时,才可以得到声压最终分布的解析解。然而实际情况中密度或温度分的布是比较复杂多变的，所以大多数情况下我们是很难得到非均匀介质下声波方程的解析解的。3声波在一维非均匀介质中的传播模型的分析与讨论实际应用中经常遭遇声波在非均均匀质中传播的情况,但是由于其求解问题的复杂性,我们从最简单的一维模型出发,研讨声波在非均匀介质中的传播的性质。3.1有限元法的基本理论有限元法是一种高效、常用的数值分析方法，同时也是一种非常受欢迎，应用广泛的数值分析技术。其曾经的原理是变分原理。自1969年以来，一些学者将最小二乘法或迦辽金法在流体力学里面使用，竟然也得到了有限元方程，所以有限元法在任意微分方程描绘的任意物理场中全部适用。基本思想：有限元法分析（FiniteElementAnalysis）的基础思想即：用简易问题替代疑难复杂问