华南理工大学高等数学 微积分自测卷3

1《微积分（下）》自测试卷3（时间120分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分]211x的幂级数展开式为2．[3分]幂级数21!2!nnnxn的收敛半径为3．[3分]若,zzxy由方程,0yzFxx确定，则zzxyxy4．[3分]二次积分22200,0ayyadyfxydxa在极坐标下的二次积分为5．[3分]设区域22,4,0Dxyxyy，利用被积函数的对称性及区域的对称性知积分32Dxxyd6、[3分]设ln11yduxydxexdy，则,uxy二、计算1、[5分]设2,xzfyexy，且f具有二阶连续偏导数，求2,ffxyx2、[6分]设xyzyfxgyx，其中,fg具有二阶连续偏导数，求222zzxyxxy3、[6分]设,xyzfuuugtdt，其中gt连续，,ufu均可导，且1u，求zzgygxxy4、[7分]求函数22(,)64fxyxxyy的极值5、[6分]计算二重积分,xyDedxdyD由2,0,1yxxy所围26、[6分计算22,DxydxdyD由直线,0,yxyxa所围7、[6分]判别级数12111nnnn的敛散性，若收敛，说明示条件收敛还是绝对收敛8、[7分]将函数212fxxx展开为3x的幂级数9、[7分]求微分方程1222xyyxy的通解10、[8分]设生产某种产品的数量与所用的两种原料,AB的数量,xy间有关系式,3Qxyxy，其中,为正常数，且1。假设,AB的价格分别为12,pp，问当产量为18时，购进两种原料各多少可使费用最少？三、证明题1、[5分]设函数2,3yzxyx，求证：220zzxxyyxy2、[6分]设()fx在0,1上连续，求证：11001fxfyedxedy3、[7分]设1201nnuxxdx，证明：级数1nnu收敛参考答案及提示一、24621111;4;;nnxxxxxz2sin200cos,sindfrrrdr0;11ln1yxyxexx二、22,,,xxuvyefxyfuyevxy23222;xxxuvuuuvvvefxfyefxyexfxyf；0;0;；极大值为313,236;;2ln21;23af条件收敛；11111111132432134nnnnxxxx2211,1;yyyycxddxxxxxx21126,6ppxypp3三、1、略；2、提示：由对称性()()222,2;fxfyfxfyfxfyDDeeedxdydxdyababeee3、提示：先将积分计算出来，再用比较法判别