【浅析多项式因式分解的方法】

师大学学院本科期末论文（设计）期末论文（设计）题目《浅谈多项式因式分解的方法》学生：何娜科任教师：龙伟锋专业：数学与应用数学年级：2012级学号：1220080110132015年12月10日多项式因式分解的方法摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。关键词：一元多项式，因式分解多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环的每一个nn＞0次多项式都可以分解成这个多项式环不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。１求根法（参见文献2）设多项式xf=0111axaxaxannnn是整系数多项式，第一步写出首项系数na的全部因数iv，si,,2,1；第二步写出常数项0a的全部因数ju，tj,2,1；第三步用综合除法对jiuv试验，确定xf的根；第四步写出xf的标准分解式。例1求xf=251074234xxxx在有理数域上的因式分解式。解先把它转换成求xf=251074234xxxx的有理根。xf的常数项和首项系数的全部因数分别为1，2与1，2，4,则需要检验的有理数为1，2，12，14.由于1f=0，故-1是xf的根，且易知xf=2734123xxxx.按照同样的方法可求xg=273423xxx的有理根，易知xg的有理根为41，且41是xg的单根。251074234xxxx=8444112xxxx=21412xxxx.例2求xf=3261514xxx在有理数域上的因式分解式。解先把它转换成求xf=3261514xxx的有理根。由于fx是首项系数是1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项-14的因数。由于-14的因数为1，2，7，14，经检验知14f，136f，20f，272f，7140f，7756f，141764f，144144f.故2是xf的有理根，又由综合除法，得21-615-142-81421-4702-41-23可见2是xf的单根，所以xf=2247xxx.２待定系数法例3求5321020154fxxxxx在有理数域上的标准分解式。解xf的首项系数1的因子有1，常数项-4的因子有1，2，4，故xf的根有可能是1，2，4，将其代入xf逐一检验，得出-1和4是xf的有理根。不妨设xf=32141xxxaxbx，利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得xf=5432343134344xaxbaxbaxbx.与5321020154fxxxxx进行逐项比较，得3ab.所以，xf=3214331xxxxx=414xx.３重因式分离法（参见文献1）数域P上任一次数大于0的多项式xf都有唯一的标准分解式xfxpxpxapsrsrr2121（*）其中a为xf的首项系数，xpxps1是P上首项系数为1的不可约多项式且两两互异，srrr,,21都是正整数。对（*）式两边求导，得1211112··srrrsfxagxpxpxpx，其中每个xpi都不能整除xg，用辗转相除法求出xfxf,xpxpxpsrsrr1121121，则存在xqxpxpxaps21使xfxfxf,xq，由此可见xq和xf具有完全相同的因式，差别只是xq中的因式的重数为1，所以求xf的因式就可以转化成求xq的因式。例4求多项式xf5321020154xxxx在有理数域上的标准分解式。解由xf'425304015xxx，xfxf,13323xxx，得xg/xfxfxf,432xx，所以xg的不可约因式为1,4xx.但是xfxf,31x，由重因式定理，1x是xf的4重因式，所以414xxxf.例5求多项式xf765432268176208xxxxxxx在有理数域上的标准分解式。解由xf'=654327123032511220xxxxxx，用辗转相除法，得xfxf,=5432584xxxxx.于是qx/xfxfxf,=2212xxxx.由于xf与qx有完全相同的不可约因式1x，2x，可见xf有根1，-2，再用综合除法112-6-8176-20813-3-11612-8113-3-11612-80141-10-481141-10-480156-4-81156-4-801612811612801719171927可见1是xf的四重根，-2是xf的三重根。所以xf=4312xx.４利用矩阵的初等行变换法（参见文献6）因为1001fxfx初等行变换,0fxfxuxvx，并且,uxvx满足xfxf,=uxfxvxfx，所以可根据以上过程求出xfxf,，再用方法三求出多项式xf标准分解式。例6求xf5321020154xxxx在有理数域上的标准分解式。解由53242102015410568301xxxxxxx初等行变换324241212415168305xxxxxxx初等行变换32213314203340420xxxxxxx易见，xfxf,13323xxx=31x，又因为/xfxfxf,432xx=41xx，所以414xxxf.５利用行列式的性质（参见文献5）在高等代数中，行列式是一个较好的工具，我们可以巧妙地运用行列式的相关性质对一些多项式进行因式分解.我们知道二阶行列2111aa2212aa=21122211aaaa，由此启发，可以将一个多项式F表示成2个新的多项式的差，而每个新的多项式又可表成2个多项式的乘积，即F=MN-PQ，也即是F=QMNP,这样就把多项式F转换成二阶行列式的形式，然后再对这个二阶行列式进行初等变换，提出因式。例7对多项式20246234xxxx进行因式分解。解原式=xxxx6546122=42x26165xxx=244x22614xxx=42x412611xx=42x562xx=5122xxxx.把20246234xxxx转化为42x26165xxx，而不是其它形式，是为了在接下来的初等变换中，提出公因子42x。这种化为二阶行列式进行因式分解的方法技巧性较强，关键在于如何把原多项式转化成恰当的二阶行列式，操作有点难度，不便通用。下面介绍一种比较一般的方法。对任意的一元n次多项式xP0111axaxaxannnn均可写成n阶行列式的形式xP01221100001000001nnnxxxaaaaaxa在此基础上，利用行列式性质，通过降阶和提取公因式的方法分解。例8对多项式xf=4325241511824xxxx进行因式分解。解xf=1000100012411815524xxxx=210012411852415xxxx=51x515012425xxxx=-51x212452xxx=351x2118523xxx=352x21131528333xxxx=51x3832xxxx=3x51x182xx=3x51x42xx.６利用单位根的性质（参见文献4）复数1的n次根，即多项式1nfxx的n个复根，称为n次单位根。n次单位根是22cossin0,1,2,,1kkiinnn。单位根在复数域中有特殊的地位，具有许多独特的性质。下面我们利用它来求多项式1221nnfxxxxx在复数域、实数域或有理数域上的标准分解式。例9求7621fxxxxx在实数域上的标准分解式。解因为811xfxx，所以先求81x在实数域上的标准分解式。81x的8个单位根是0cos0sin01i，122cossin4422ii，2cossin22ii，33322cossin4422ii，4cossin1i，55522cossin4422ii，633cossin22ii，77722cossin4422ii，其中04,是实根，其余都是虚根，1与7共轭，2与6共轭，3与5共轭。又由于172，1·71，2·61，260，352，3·51，所以在实数域上的标准分解式为81x=722201112121iixxxxxxxx.从而得到fx在实数域上的标准分解式为fx=222112121xxxxxx.值得注意的是，利用单位根分解因式的方法局限性很大，仅适用于1221nnfxxxxx和1nfxx在指定数域上的标准分解式。７利用复根进行分解（参见文献2）形如多项式21nx，211nx，21nx，211nx在Rx中的因式分解利用复根进行分解。因为2101,kmimmkkkxxwwe，其中1211,,,,n为1的m次单位根。又因为实系数多项式复根共轭出现，而222cos1kmkkxwxwxxm，当m为偶数时，1均为根；当m为奇数时，只有1为根，即当2mn时，21nx=122112cos1nkkxxxn；当21mn时，有211nx=121212cos121nkkxxxn；同理2101,kmimmkkkxxe,当m为偶数时，无实根；当m为奇数时，只有-1为根，即当2mn时，21nx=21212cos12nkkxxn，当21mn时，211nx=12112cos1nkkxxxn.例10求出41x复数域、实数域上的分解式。解由41x=0得，4cossinxi，则22cossi