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类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【变式3】=类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是例题精讲__________.3）___________，___________，___________.【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1B．1－C．2－D．－2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)(5)|x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：(1)∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4-(2)∵π=3.14159…＜3.142∴|π-3.142|=3.142-π(3)∵＜,∴|-|=-(4)∵x≤3,∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3|=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0∴|x2+6x+10|=x2+6x+10举一反三：【变式1】化简：类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a,b的值。分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。解：由题意得由(2)得a2=49∴a=±7由(3)得a-7，∴a=-7不合题意舍去。∴只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21∴a=7,b=21为所求。举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。【变式2】已知那么a+b-c的值为___________类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。解：设新正方形边长为xcm，根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，∴只取x=15(cm)答：新的正方形边长应取15cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=大正方形的面积=，一个长方形的面积=。所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2所以有，化简得：将代入，得：cm答：中间小正方形的边长2.5cm。类型七．易错题7．判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八．引申提高8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．解：由得的整数部分a=5,的小数部分，∴（2）解：(1)设x=①则②②-①得9x=6∴.(2)设①则②②-①，得99x=23∴.(3)设①则②②-①，得999x=107，∴.