福师大2020年8月《近世代数》期末试卷A试题参考答案

福师大2020年8月《近世代数》期末试卷A试题参考答案一、判断题1.剩余类环5中没有非零的零因子。（×）2.群中指数为2的子群一定是正规子群（√）3.已知H是有限群G的子群，||G和||H分别表示G和H的元素个数，则||H不一定能整除||G（√）4.数域上的全矩阵环不是单环。（×）5.环中理想的乘积还是理想。（√）二、计算证明题1.设Z是整数集，规定3abab，证明：Z关于所定义的运算构成交换群。1,,32,66,3,,3=4,,33335,6•66336,abZababZZabZabcabcabcabcabcabcabZababbaabZaaaaZaZaaaaaaZ答：对所以“”在上构成代数运算；对，有满足结合律对满足交换律对有为单位元对有使得为的逆元构成交换群。2.在四元对称群4S中,设(12)(34),(1234).(1)写出11的轮换分解式(即将11写成一些互不相交的轮换的乘积);(2)设集合14{|}TS,试写出T中全部元素(用轮换分解式表示);答：11112423414131234213,14,23,124123234,12T答：3.有一队士兵,三三数余二,五五数余一,七七数余三.问:这队士兵有多少人?试求最小正整数解.(要写出解题过程),,16,38226,33mod32mod51mod731211.,1,79366743+10=1061mmmmm答：设这队士兵有人根据三三数之余二要保证个位数是或者只能是＋＝或者＋＝根据七七数之余三要保证个位数是或者6只能是＋＝或＋＝31只有：317符合题意。所以，这队士兵最的尾数一定为或少有101人4.求出剩余类环8的所有理想和所有极大理想。答：所有理想为0,等价类2生成的理想,等价类4生成的理想和Z8。极大理想为等价类2生成的理想。