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精品资料专题突破(四)一元二次方程综合一元二次方程的综合运用，一元二次方程的二次项系数不为零及整数根问题是一元二次方程综合题中的热点考查内容．2011—2015年北京中考知识点对比题型年份20112012201320142015题型一次函数与反比例函数综合一次函数与反比例函数综合一元二次方程综合一元二次方程综合一次函数与反比例函数综合1．[2014·北京]已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．2．[2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．1．[2015·西城一模]已知关于x的一元二次方程x2－2(m－1)x－m(m＋2)＝0.(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若x＝－2是此方程的一个根，求实数m的值．精品资料2．[2015·海淀二模]已知关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根．(1)求实数a的取值范围；(2)若a为正整数，求方程的根．3．[2015·朝阳一模]已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．4．[2014·西城二模]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋3k－6＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．5．[2015·海淀]已知关于x的一元二次方程mx2－()m＋2x＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)若x20，且x1x2－1，求整数m的值．精品资料6．[2015·海淀一模]已知关于x的方程kx2－x－2k＝0(k≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．7．[2014·石景山二模]已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋(2k－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．8．[2015·怀柔一模]已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值．精品资料参考答案北京真题体验1.解：(1)证明：可知Δ＝b2－4ac＝(m＋2)2－4×2×m＝m2＋4m＋4－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2≥0.∴方程总有两个实数根．(2)由公式法解方程可得：x＝－b±Δ2a＝（m＋2）±（m－2）2m∴x1＝1；x2＝2m.由题意得方程的两个实数根均为整数，∴x2必为整数．又∵m为正整数，∴m＝1或2.2．(1)k52(2)k＝2北京专题训练1.解：(1)证明：Δ＝[]－2（m－1）2＋4m(m＋2)＝4m2－8m＋4＋4m2＋8m＝8m2＋4.∵8m2≥0，∴8m2＋4＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x＝－2是此方程的一个根，∴(－2)2－2×(－2)(m－1)－m(m＋2)＝0.整理得m2－2m＝0.解得m1＝0，m2＝2.2．解：(1)∵关于x的方程x2－4x＋3a－1＝0有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4(3a－1)≥0.解得a≤53.∴a的取值范围为a≤53.(2)∵a≤53，且a为正整数，∴a＝1.∴方程x2－4x＋3a－1＝0可化为x2－4x＋2＝0.∴此方程的根为x1＝2＋2，x2＝2－2.精品资料3．解：(1)Δ＝(－6)2－4(k＋3)＝36－4k－12＝－4k＋24.∵原方程有两个不相等的实数根，∴－4k＋240.解得k6.(2)∵k6且k为大于3的整数，∴k＝4或5.①当k＝4时，方程x2－6x＋7＝0的根不是整数．∴k＝4不符合题意．②当k＝5时，方程x2－6x＋8＝0的根为x1＝2，x2＝4均为整数．∴k＝5符合题意．综上所述，k的值是5.4．解：(1)由题意，得Δ＝4－4(3k－6)0.∴k73.(2)∵k为正整数，∴k＝1或2.当k＝1时，方程x2＋2x－3＝0的根x1＝－3，x2＝1都是整数；当k＝2时，方程x2＋2x＝0的根x1＝－2，x2＝0都是整数．综上所述，k＝1或k＝2.5．解：(1)由已知，得m≠0且Δ＝()m＋22－4×2m＝m2－4m＋4＝()m－220，∴m≠0且m≠2.(2)原方程的解为x＝()m＋2±()m－22m.∴x＝1或x＝2m.∵x20，∴x1＝1，x2＝2m0.∴m0.∵x1x2－1，∴m2－1.∴m－2.又∵m≠0且m≠2，∴－2m0.∵m是整数，∴m＝－1.6．解：(1)证明：∵k≠0，∴kx2－x－2k＝0是关于x的一元二次方程．∵Δ＝(－1)2－4k(－2k)＝90，∴方程总有两个不相等的实数根．(2)由求根公式，得x＝1±92k.精品资料∴x1＝2k，x2＝－1k.∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k＝－1或k＝1.7．解：(1)证明：∵Δ＝(k＋2)2－4(2k－1)＝(k－2)2＋40，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)根据题意得1－(k＋2)＋(2k－1)＝0，解得k＝2，则原方程为x2－4x＋3＝0，解得另一个根为x＝3.①当该直角三角形的两直角边长是1、3时，由勾股定理得斜边的长为10，该直角三角形的周长为4＋10；②当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为22，该直角三角形的周长为4＋22.8．解：(1)证明：Δ＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2.∵kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0是一元二次方程，∴k≠0，∵k是整数，∴k≠12，即2k－1≠0，∴Δ＝(2k－1)2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解方程得x＝（4k＋1）±（2k－1）22k.∴x＝3或x＝1＋1k.∵k是整数，方程的根都是整数，∴k＝1或k＝－1.