高中数学椭圆讲义及例题

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！7.椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；2）．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221xymn或者mx2+ny2=1。3、椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB。③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：假设已知椭圆方程12222byax（0,0ab），且已知椭圆的准线方程为2axc，试推导出下列式子：（提示：用三角函数假设P点的坐标ePMPFPMPF22114、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有ePMPFPMPF22115、椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！一般而言：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。6.直线与椭圆的位置关系1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。7.椭圆方程的求解方法1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,ab或者,ec中的方程组，要善于抓住条件列方程。先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为12222byax（0ab）或22221yxab（0ab）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为221xymn或者mx2+ny2=1（0,0,mnmn），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。但是需要注意的是m和n（或者11mn和）谁代表2a，谁代表2b要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：222abc，cea等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。课上例题：１．方程10222222yxyx化简的结果是２．已知点A（4,0）和B（2，2），M是椭圆221259xy上的一动点，则|MA|+|MB|的最大值是每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！3.求与椭圆224936xy共焦点，且过点(3,2)的椭圆方程。4.已知椭圆14416922yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点．若6021PFF，求21FPF的面积．5.已知椭圆2212516xy，M为椭圆上一动点，1F为椭圆的左焦点，求线段1MF的中点P的轨迹方程。每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！椭圆课后练习1.已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．2.已知椭圆方程012222babyax，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．3.以椭圆131222yx的焦点为焦点，过直线09yxl：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！4.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．5.已知B是椭圆E：012222babyax上的一点，F是椭圆的右焦点，且BFx轴，B（1，32）。（1）求椭圆E的方程；（2）设1A和2A是长轴的两个端点，直线l垂直于12AA的延长线于点D，|OD|=4，P是l上异于点D的任意一点，直线1AP交椭圆E于M（不同于1A、2A）,设22AMAP，求的取值范围。每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！6.已知椭圆C：012222babyax经过点A（2,1），离心率为22。（1）求椭圆C的方程；（2）过点B（3,0）的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，求BMBN的取值范围。每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！