新必修二-8.3-空间几何体的表面积和体积(教案+习题)含答案

1空间几何体的表面积和体积【要点梳理】：要点一：空间几何体的表面积和体积公式项目名称底面侧面棱柱平面多边形平行四边形面积=底·高棱锥平面多边形三角形面积=12·底·高棱台平面多边形梯形面积=12·（上底+下底）·高项目名称表面积圆柱2222()Srrlrrl圆柱表（底面半径为r，母线长l）圆锥S圆锥表=πr2+πrl=πr（r+l）圆台22('')Srrrlrl圆台表项目名称体积柱体棱柱V棱柱=Sh圆柱V圆柱=Sh=πr2h锥体棱锥13VSh棱锥圆锥台体棱台1('')3VhSSSS棱台圆台2211('')('')33VhSSSShrrrr圆台项目名称表面积体积球平S球=4πR2343VR球22．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点二、侧面积与体积的计算1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：SSSSSS小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截l（其中C直截、l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截l（其中S直截、l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）．2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．3【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如下图，求正四棱锥的侧面积和表面积．【思路点拨】利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式。【答案】32cm248cm2【解析】正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴4cmsin30OEPE．因此211'44432(cm)22SCh侧，S表面积=S侧+S底=32+16=48（cm2）．【总结升华】（1）求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三角形的高（称为斜高），这就需要充分利用棱锥的高、边心距（底面中心到各边的距离）和斜高所构成的直角三角形来求解．（2）求圆锥的侧面积只需利用公式即可求解．举一反三：【变式1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积。【答案】23a【解析】利用等边三角形面积公式求出一个面的面积，再乘以4即可。【变式2】圆锥的母线长扩大到原来的n倍，底面半径缩小为原来的1n，那么它的侧面积变为原来的（A）A．1倍B．n倍C．2n倍D．1n倍【变式3】若圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则这个圆锥的体积是。答案：324例2．圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。【答案】21【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r、R，圆锥的母线长为l．则有rRrRR，即12rR，∴R=2r，2lR∴2222222441212(21)(21)421SrrrrSRRRRr圆柱表圆锥表【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体．这种切接问题一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算．例3．一个直角梯形的上底、下底、高的比为1:2:3，求由它旋转而成的圆台的上底面积，下底面积和侧面积的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右图，设上、下底和高分别为x、2x、3x，4则母线22(2)(3)2lxxxx，∴S上底=πx2，S下底=π(2x)2=4πx2，S侧=π(x+2x)2x=6πx2．∴圆台的上、下底面积及侧面积之比为1∶4∶6．【总结升华】解题的关键是利用轴截面是等腰梯形，进而化为直角梯形、直角三角形，从而将上、下底半径、高、母线等集中在一个直角三角形中研究．举一反三：【变式1】圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留π）【答案】1100π【解析】如图，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角是180°，所以C=π·SA又C=2π×10=20π，所以SA=20同理SB=40，所以AB=SB-SA=20S表=S侧+S上底+S下底【变式2】正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8，体积为314cm，则棱台的高为。【变式3】邻边长为a，b的平行四边形，且a＞b，分别以a，b两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则有（）A．S1＜S2B．S1＞S2C．S1＝S2D．S1≥S2【答案】B【解析】把平行四边形看成特殊的矩形，直接求出即可。类型二、简单几何体的体积例4．如右图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱锥P-ABC的体积V．【思路点拨】由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB与PC相交于P，所以PA垂直于平面PBC，即PA为三棱锥A—PBC的高，从而顺利地求出其体积．【答案】45【解析】三棱锥的体积13VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把A看作顶点，△PBC作为底面求解．1133APBCPBCVVShSPA11432432．【总结升华】本例中，不是先求出以△ABC为底面的三棱锥的高，而是把它转化为三棱锥A—PBC的高．这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理．这一方法叫做体积转换法（或等积法），随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握．举一反三：【变式1】（1）各棱长都为1的正四棱锥的体积V=________．（2）如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【解析】（1）（2）从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，即y的大小，影响P到面A1B1CD的距离，因此会导致四面体体积的变化．故选D．例5．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为m3【答案】6【解析】由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的．其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和．即22111332133Vrhabc=6（m3）【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求解．此类题目是新课标高考的热点，应引起重视．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．283B．83C．82D．236【答案】A【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即283．类型三、球的表面积与体积例6．求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积．【答案】32V【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）．因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可．如图，以正方体的对角面11ACCA作球的截面，则球心O为1AC的中点，设正方体的棱长为x，则33,xVxV，而2231111112,33ACxACAAACxV332RV32234343,32SRVVRV球球【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图．解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．举一反三：【变式1】设长方体的长、宽、高分别为2,,aaa，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为。A．23aB．26aC．212aD．224a【答案】B【解析】长方体的对角线的长度，就是球的直径【变式2】圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是cm．【答案】4【解析】设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有23248363rrrr，由此解得r=4。【变式3】点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π7【解析】根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．类型四、多面体和旋转体表面上的最短距离问题例7．如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（）A．30°B．60°C．20°D．90°【解析】把正三棱锥沿SB剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，△SBC、△SCA、△SAB'，连接BB'，交SC于F，交SA于E，则线段BB′就是△BEF的最小周长，BB'=a，又SB=SB'=a，根据勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2，△SBB'是等腰直角三角形，∴∠BSB'=90°，∴∠ASC=90°×=30°，∴侧棱SA，SC的夹角为30°故选A举一反三：【变式】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，AD=4，AB=5，由A在表面到达C1的最短行程为（）A．12B．C．D．【解析】从A点沿不同的表面到C1，其距离可采用将长方体展开的方式求得，8分别是=，=4，=3∴从A点沿表面到C1的最短距离为．故选：B．类型五、球面距离及相关计算例8．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=