中考数学里的牛吃草问题

中考数学里的牛吃草问题张景强所谓牛吃草问题，源于世界著名科学家牛顿所著《普通算术》中的一个题目。题目一个牧场，12头牛4周吃草格尔，21头牛9周吃草10格尔。问：24格尔牧草，多少头牛18周吃完？（格尔��牧场的面积单位）该问题涉及牛的头数、牧草的面积、牛吃草的时间。同时，牛天天在吃草，而草则天天在生长，这是一种动态现象。其中隐含着每头牛每周吃草量相等，每格尔牧场每周生长的牧草量也相等，且牛吃草总量不会超过该牧场原有的草量及每天新生长的草量的和。因此，解决这类问题通常是建立方程（组）模型。解析：设每头牛每周吃草量为，每格尔草地每周生长草量为，每格尔草地原有草量为，又设24格尔牧草头牛18周吃完，依题意得消去，解得这类牛吃草的问题，在近两年中考试题里频频出现，现举两例，供同学们复习时参考。例1.（2003年湖南郴州市）某校食堂在开晚餐前，有名学生在食堂排队等候买晚餐，开始卖晚餐后，仍有学生前来排队买晚餐，设学生前来排队买晚餐的人数按固定的速度增加，食堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的。若开放一个窗口，则需要40分钟才可使排队等候的学生全部买到晚餐；若同时开放两个窗口，则需要15分钟就可使排队等候的学生全部买到晚餐。（1）写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度（人/分钟）与每分钟新增加的学生人数（人）之间的关系：（2）食堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在8分钟内让排队等候的学生全部买到晚餐，以使后到的学生能随到随买，至少要同时开放几个窗口？解析：（1）依题意，得所以，（2）设至少要同时开放个窗口，则有解得因为为大于3的最小正整数，所以即至少要同时开放4个窗口。例2.（2003年江苏连云港市）某水库共有6个相同的泻洪闸，在无上游洪水注入的情况下，打开一个水闸泻洪使水库水位以米/小时匀速下降。某汛期上游洪水在未开泻洪闸的情况下使水库水位以米/小时匀速上升，当水库水位超过警戒线米时开始泻洪。（1）如果打开个水闸泻洪小时，写出表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式；（2）经考察测算，如果只打开一个泻洪闸，则需30小时水位才能降至警戒线；如果同时打开两个泻洪闸，则需10小时水位才能降至警戒线。问：该水库能否在3小时内使水位降至警戒线？解析：（1）表示此时相对于警戒线的水面高度的代数式为（2）由题意，得解这个方程组，可得。若6个泻洪闸同时打开，3小时后相对于警戒线的水面高度为因为所以所以，该水库能在3小时内使水位降至警戒线。