北京三中2015-2016学年度初三上数学期中试卷含答案

北京三中(初中部)2015——2016学年度第一学期初三数学期中试卷2015.11．考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。3．在答题纸上，除作图使用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答。4．不得使用涂改液（带），没有在指定位置答题或在答题框外答题一律不给分.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．１．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）.A.6B.8C.12D.182．在平面直角坐标系中，已知点(3,0)A和点)4,0(B，则OABcos等于（）.A．43B．53C．43D．543．抛物线225yx的顶点坐标是（）.A．(-2，5)B．(2，5)C．(-2，-5)D．(2，-5)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为（）.A．55B．255C．12D．25．下列三角函数值错误的是（）.A．sin1302B．3sin602C．tan451D．cos6036．如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（）.A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米ACB第1题图第6题图7．将抛物线224yx绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）.A．224yxB．224yxC．224yxD．22yx8．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）.A．(-3，-3)B．(-3，-4)C．(-4，-3)D．(-4，4)9．同一直角坐标系中，函数ymxm和12xmxy（m是常数，且0m）的图象可能．．是（）10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()ABCDxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．ABCDEOF第8题图第10题图BCA二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=3，CD=4，则△CDE与△CAB的周长的比为．12．点A（1x，1y）、B（2x，2y）在二次函数221yxx的图象上，若2x＞1x＞1，则1y与2y的大小关系是1y2y．（用“＞”、“＜”、“=”填空）13.在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则tanB的值为__________．14．关于x的二次函数22yxkxk的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式：．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sinBCD的值是．16.在平面直角坐标系xoy中，直线2x和抛物线2yax在第一象限交于点A，过A作ABx轴于点B.如果a取1，2，3，…，n时对应的△AOB的面积为,,,321SSS…，nS，那么1S_____；321SSS…+nS=___________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：32sin453tan30cos602.18．若二次函数23yaxbx的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.第11题图第13题图第15题图19．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．[来源:.Com]20．已知二次函数342xxy（1）用配方法将342xxy化成khxay2）（的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当30x时，求y的取值范围．21．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度.（结果保留根号）22.如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，如果AB﹦8，AD﹦4，求sin∠DCP的值．BADCABCDPAA'CBB'30B'A'CBA四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.已知抛物线y=mx2-(m+1)x+1(m≠1)（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点.（2）当抛物线与x轴的两个交点横坐标为整数时，求m的整数值.24．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足280yx（20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）.（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式.（2）当销售单价定为多少元时,每天的利润最大？最大利润是多少元？25．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕顶点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C．联结A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′．（1）直接写出S△ACA′︰S△BCB′的值.（2）如图2，∠ACB=90°，AC=a，BC=b，当旋转角为（0°＜＜180°）时，求S△ACA′与S△BCB′的比值.图1图226．如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°，DF⊥AC于F,∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，（1）求EF、DF的长；（2）证明：AB=AD；（3）求BC的长．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分,第29题8分）27.阅读理解：如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由.（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E.拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值为___________．FEDCBA图1图2图328.有这样一个问题：探究函数2112yxx的图象与性质。小东根据学习函数的经验，对函数2112yxx的图象与性质进行了探究。下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数2112yxx的自变量x的取值范围是___________；(2)下表是y与x的几组对应值。x…32112131312123…y…2563212158531855181783252m…求m的值；(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：________________。yy665543211243xxOO-4-3-2-1-1-2-3-429.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），sin∠CAB=54，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．（1）求过ABC三点的抛物线的解析式；（2）是否存在平行于EF的直线MN，使得该直线与抛物线只有一个公共点，若存在，求出直线MN的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值。北京三中（初中部）2015－2016学年度第一学期初三数学期中试卷答案2015.11一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号12345678910答案DBBADCBCDB二、填空题（本题共16分，每小题4分）11、4:712、＜13、4314、k值大于2即可15、13516、42n2+2n(第一空1分，第二空2分)三、解答题（本题共30分，每题5分）17、解:原式=2321333222……………………………4分=12…………………………………5分18、解：二次函数2yaxbxc的图象经过B（1，0）、C（2，－1）两点，∴03,1423.abab………………………2分解得1,4.ab…………………………………4分∴二次函数的解析式为243yxx.…………5分19、解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A,………………………2分∴△ACD∽△ABC.……………………………………3分∴ADACACAB.……………………………………4分∵AD=2，AB=6，∴26ACAC.∴212AC.∴23AC.……………………………………5分20、解：（1）1)2(2xy…………………………2分（2）列表、画图………………………………4分（3）当0x3时，-1≤y＜3………………………………5分21、解：∴BC=AB=10（米）．…………………………………………………………………2分在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=310=532（米）．…………………………4分答：这棵树CD的高度为53米．……………………………………………5分22、解：过点P作PE⊥CD于点E……………………1分∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，∠DAB＝∠ADC＝90°．∵AP是∠DAB的角平分线，∴∠DAP＝12∠DAB＝45°．∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°．∴∠ADP＝45°．∴∠CDP＝45°．在Rt△APD中，AD＝4，∴DP＝AD·sin∠DAP＝22．……………………2分在Rt△DEP中，∠DEP＝90°，∴PE＝DP·sin∠CDP＝2，DE＝DP·cos∠CDP＝2．∴CE＝CD—DE＝6．……………………3分在Rt△DEP中，∠CEP＝90°，22210PCCEPE=+=.……………………-4分∴sin∠DCP＝1010PEPC.……………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23、解：（1）∵△=(m+1)2-4m=(m-1)2………………………………1分且m≠1∴(m-1)2＞0∴该抛物线与x轴总有两个交点………………………………2分(2)令y=0,则mx2(m1)x1=0解得：x1=1x2=m1………………………………4分又∵m为整数，且方程的根为整数，且m≠1∴m=-1………………………………5分24、（1）16001202)802)(20()20(2xxxxyxw…………2分(2)200)30(22xw∴当x=30时，w最大=200…………………………4分答：当销售单价定为30元时,每天的利润最大，最大利润是200元……………5分25、（1）S△ACA′︰S△BCB′=9︰16；…………………………………2分（2）证明：∵△ABC