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2016-2017学年北京四十四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）3．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC的度数为（）A．50°B．80°C．90°D．120°4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．105．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格6．将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线解析式是（）A．y=6（x﹣2）2+3B．y=6（x+2）2+3C．y=6（x﹣2）2﹣3D．y=6（x+2）2﹣37．圆内接正方形半径为2，则面积为（）A．2B．4C．8D．168．平面直角坐标系中，⊙O是以原点O为圆心，4为半径的圆，则点A（2，﹣2）的位置在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．不能确定9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，△APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．点P（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是．12．如图，在⊙O中，AB=AC，∠ABC=70°．∠BOC=．13．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．14．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为度．15．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为．16．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为．（结果都保留π）三、解答题（共12小题，满分72分）17．（5分）抛物线y=2x2向上平移后经过点A（0，3），求平移后的抛物线的表达式．18．（5分）如图，在8×11的方格纸中，△ABC的顶点均在小正方形的顶点处．（1）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到的△A′B′C′；（2）求点B运动到点B′所经过的路径的长度．19．（5分）已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：∠AOC=∠BOD；（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．20．（6分）已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．（1）用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=（x﹣h）2+k形式；（2）并指出：抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x轴交点坐标是，当x时，y随x的增大而增大．21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=2，求OC的长．22．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．23．（6分）如图，点A、B、C、D、E在圆上，弦的延长线与弦的延长线相交于点，AB是圆的直径，D是BC的中点．求证：AB=AC．24．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？25．（6分）已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．26．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．27．（7分）已知：抛物线y=x2+（b﹣1）x﹣5．（1）写出抛物线的开口方向和它与y轴交点的坐标；（2）若抛物线的对称轴为直线x=1，求b的值，并画出抛物线的草图（不必列表）；（3）如图，若b＞3，过抛物线上一点P（﹣1，c）作直线PA⊥y轴，垂足为A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数解析式．28．（8分）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．（1）求∠APB的大小；（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．2016-2017学年北京四十四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2014•自贡）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2005•晋中校级模拟）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】抛物线的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．【解答】解：抛物线y=（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．故选A．【点评】本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标．3．（2014•合川区校级模拟）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC的度数为（）A．50°B．80°C．90°D．120°【考点】圆周角定理．【分析】由∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数．【解答】解：∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，∴∠BOC=2∠A=80°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2013•朝阳区模拟）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8B．6C．4D．10【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】探究型．【分析】先连接OA，根据勾股定理求出AC的长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论．【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选A．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2011•钦州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格【考点】几何变换的类型．【分析】观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．【解答】解：根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．故选：D．【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．6．（2016秋•西城区校级期中）将抛物线y=6x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线解析式是（）A．y=6（x﹣2）2+3B．y=6（x+2）2+3C．y=6（x﹣2）2﹣3D．y=6（x+2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y=6x2先向左平移2个单位得到解析式：y=6（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=6（x+2）2+3．故选B．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．7．（2016秋•西城区校级期中）圆内接正方形半径为2，则面积为（）A．2B．4C．8D．16【考点】正多边形和圆．【分析】根据圆内接正方形的性质，得出∠BOC=90°，以及CB2即正方形的面积，求出即可．【解答】解：过圆心O作OE⊥CB，∵圆的半径为2，内接四边形是正方形，∴∠BOC=90°，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴22+22=CB2，∴AB2=8，即正方形的面积为：8．故选：C．【点评】此题主要考查了圆内接正方形的性质，正方形与圆的有关计算，正确应用勾股定理是解题关键．8．（2016秋•西城区校级期中）平面直角坐标系中，⊙O是以原点O为圆心，4为半径的圆，则点A（2，﹣2）的位置在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】利用已知画出图形，进而得出A的位置．【解答】解：如图所示：点A（2，﹣2）在⊙O内．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及坐标与图形的性质，根据题意画出图形是解题关键．9．（2014秋•南安市期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小．故此选项错误；C、根据图示知，该抛物线与y轴交与正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．10．（