北京四中2013~2014学年度九年级上期中考试数学试卷

北京四中2013～2014学年度第一学期期中考试初三年数学试卷（时间：120分钟满分：120分）姓名：班级：成绩:____________一．选择题（每题4分，共32分）1.抛物线y=(x+1)2-4的顶点坐标是（）A．（1,4）B.(-1,4)C.(1,-4)D.(-1,-4)2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=54，则cosB的值等于（）A．53B.54C.43D.553.如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2:3，则S△DEF:S△ABF=（）A.2：3B.4：9C.2：5D.4：254.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是（）A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个6.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．aB．12aC．13aD．23a7.若定义变换：(,)(,)fabab，(,)(,)gmnmn，如：(1,2)(1,2)f，(4,5)(4,5)g，则((2,3))gf=（）A．(2,3)B．(2,3)C．(2,3)D．(2,3)8.小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二．填空题（每题4分共16分）9.在△ABC中，∠C=90°，3cos,32Ba，则b=．10.已知(-3，m）、(1，m)是抛物线y=2x2+bx+3的两点，则b=____.11.如图，是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2y1时，x的取值范围__________．12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图，则a的取值范围是______．三．解答题（本题共30分）13.计算：.14.如图，正△ABC中，∠ADE=60°，(1)求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．xyO15.如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进（9m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，求该建筑物AB的高度16.已知抛物线y＝x2－2kx＋3k＋4．(1)顶点在y轴上时，k的值为_________.(2)顶点在x轴上时，k的值为_________.(3)抛物线经过原点时，k的值为_______.17.已知二次函数y=-12x2-x+32.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．18.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，54sinB求：(1)线段DC的长；(2)tan∠EDC的值．四、解答题（本题共20分，19、20每小题5分21题6分22题4分）19.如图，直角ABC中，90C，25AB，5sin5B，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．（1）求AC、BC的长；（2）设PC的长为x，ADP的面积为y．当x为何值时，y最大并求出最大值．20.如图，直线y＝3x和y＝2x分别与直线x＝2相交于点A、B，将抛物线y＝x2沿线段OB移动，使其顶点始终在线段OB上，抛物线与直线x＝2相交于点C，设△AOC的面积为S，求S的取值范围．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？22、当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x2－2mx+m2+2m－1①有y=(x－m)2+2m－1②，所以抛物线顶点坐标为（m，2m－1），即x=m③,y=2m－1④.当m的值变化时，x，y的值也随之变化，因而y的值也随x值的变化而变化.将③代入④，得y=2x－1⑤.可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式：y=2x－1；(1)根据上述阅读材料提供的方法，确定点（－2m,m－1）满足的函数关系式为_______.(2)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标y与横坐标x之间的关系式.五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题7分，第25题9分）23.已知二次函数22aaxxy（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为2133，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。24.已知：∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．(1)当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，其它条件不变，则BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．(2)MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CB=__________．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）2013—2014学年度第一学期期中考试初三数学答题卡班级学号姓名分数一、选择题（请把各题的答案写在相应题号下面的空格内！）题号12345678答案二、填空题（请把各题的答案写在相应题号的横线上！）三、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）9、.10、.11、.12、.14.15.13.计算：.16．（1）_____________;（2）__________________;（3）______________.18.解：（1）（2）17.（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象（2）___________________;（3）四、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）20.解：19.解：（1）（2）21.解：22.解：（1）_______________;（2）五、解答题（请在各题的答题区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！）23.解：24.（1）猜想：图（2）中_____________;图（3）中_______________;证明：（2）_____________________.25.解：