北京四中2016-2017学年度初三上期中考试数学试卷含答案

yxO数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为（）A．55B．255C．12D．23．将抛物线24xy向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．3142xyB．3142xyC．3142xyD．3142xy4．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2mB．2mC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221xy经过平移得到抛物线xxy2212，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是()A．2B.4C.8D.166．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．255C．55D．127．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，则A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）8．某抛物线的顶点为（2，﹣1），与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d中最大值是（）A．aB．bC．cD．d9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣1013y﹣1353下列结论：（1）ac＜0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个10.二次函数228yxxm满足以下条件：当21x时，它的图象位于x轴的下方；当67x时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．8B．10C．42D．24二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若900,21tan,则sin.12．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（—1，0），则它与x轴的另一个交点为．13．长方体底面周长为50cm，高为10cm．则长方体体积y）（3cm关于底面的一条FEDCBA边长x）（cm的函数解析式是.其中x的取值范围是.14．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为______.第14题第15题15．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=_______cm．16．定义：直线y=ax+b(a≠0)称作抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线.根据定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的关联直线为y=x+2,则该抛物线的顶点坐标为_________；(2)当a=1时,请写出抛物线y=ax2+bx与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）：___________________________________.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17．计算:20160+121−2sin45°+tan60°．18．如图，在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°．求tanC的值．19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）20．已知：二次函数23yxbx的图象经过点(25)A，．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()yxhk的形式．21．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．22．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，35AD，AB＝3，求BC的长．23.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24.设二次函数2143yxx的图象为C1．二次函数22(0)yaxbxca的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数22yaxbxc的解析式；（2）当3x≤0时，直接写出2y的取值范围；（3）设二次函数22(0)yaxbxca图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数3ykxm(k，m为常数，k≠0)的图象经过A，B两点，当23yy时，直接写出x的取值范围．EDCBA25．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝70o，求∠AEB的度数。26.阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：2230xx．解：设223yxx，则y是x的二次函数．10a，抛物线开口向上．又当0y时，2230xx，解得1213xx，．由此得抛物线223yxx的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x或3x时，0y．2230xx的解集是：1x或3x．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：2230xx的解集是____________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．1231121231234xy27．抛物线221ymxmxm（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．28．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP’C，连接PP’，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于.参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=22，PB=1，PD=17，求∠APB的度数和正方形的边长；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=13，直接写出∠APB的度数等于_________，正六边形的边长为______．29．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？参考答案：一、选择题1-5CABBB6-10DBDBD二、填空题11.5512.(5,0)13.xxy250102,250x14.(2,2)15.2316.（—1，—1）；如：过点（1,1+b）（不唯一）三、解答题17．解：原式322221………………………………4分312132．……………………………………………5分18．解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=12AB=6，…………………………………1分AD=AB·cos∠BAD=12·cos30°=63．………………2分∵BC=15，∴CD=BC－BD=15－6=9．……………………………3分∴在Rt△ADC中，tanC=ADCD…………………………4分=639=233．………………5分19．解：（1）作BH⊥AF于H，如图，……………………1分在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，……………………2分∴EF=BH=400m；……………………3分（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，……………………4分∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．……………………5分答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．20．解：（1）∵二次函数23yxbx的图象经过点A(2，5)，∴4235b．....................................1分∴2b．∴二次函数的解析式为223yxx．.................2分（2）令0y，则有2230xx．解得13x，21x．∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(3,0)和(1,0)．....4分（3）223yxx2(21)4xx2(1)4x．......................................5分21．解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；……………………1分（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；……………………3分（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，令y=0，则x=，∴P点的坐标（，0）．………………5分22．解：23．解：（1）依题意得……………………1分自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；……………………2分（2）当y=2520时，得解得x1=2，x2=11…………3分因为x2=11不合题意，舍去；当x=2时，30+x=32（元）所以，每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；…………4分（3）∵a=-10＜0∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5…………………5分∵0＜x≤10(1≤x≤10也正确)且x为正整数∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元）当x=7时，30+x=37，y=2720（元）所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元.……………………6分24．解：（1）二次函数2143yxx图象的顶点(2,1)关于y轴的对称点坐标为(2,1)，……………………1分∴所求的二次函数的解析式为22