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复数一、考点、热点回顾1.复数的有关概念（1）复数①定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式.a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.注意：复数m＋ni的实部、虚部不一定是m、n，只有当m∈R，n∈R时，m、n才是该复数的实部、虚部.（2）复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集.②表示：通常用大写字母C表示.2.复数的分类（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）实数（b＝0）虚数（b≠0）纯虚数a＝0非纯虚数a≠0（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系3.复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，即分离实部和虚部.（2）只有当a＝c且b＝d的时候才有a＋bi＝c＋di，a＝c和b＝d有一个不成立时，就有a＋bi≠c＋di.（3）由a＋bi＝0，a，b∈R，可得a＝0且b＝0.4.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.5.复数的两种几何意义（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→一一对应复平面内的点Z（a，b）.（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→一一对应平面向量OZ→.6.复数的模复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ→，则OZ→的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝a2＋b2.注意：复数a＋bi（a，b∈R）的模|a＋bi|＝a2＋b2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.二、典型例题考点一、复数的概念例1、下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且ab，则a＋ib＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（）A.①B.②C.③D.④【解析】对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.【答案】D变式训练1、1.对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是（）A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C.若b＝0，则a＋bi为实数D.i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.2.若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为（）A.1B.1或－4C.－4D.0或－4解析：选C.易知4－3a＝a2，－a2＝4a，解得a＝－4.考点二、复数的分类例2、已知m∈R，复数z＝m（m＋2）m－1＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，（1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？【解】（1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且m（m＋2）m－1有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.（2）要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且m（m＋2）m－1有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.（3）要使z为纯虚数，m需满足m（m＋2）m－1＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.变式训练2、当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是（1）纯虚数；（2）实数.解：（1）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数，则lg（m2－2m－7）＝0，m2＋5m＋6≠0，解得m＝4.（2）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是实数，则m2－2m－70，m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2或m＝－3.考点三、复数相等例3、（1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值；（2）已知a2＋（m＋2i）a＋2＋mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值；（3）若关于x的方程3x2－a2x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.【解】（1）由复数相等的充要条件，得x＋y＝0，y＝x＋1，解得x＝－12，y＝12.（2）因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0，可得a2＋am＋2＝0，2a＋m＝0，解得a＝2，m＝－22或a＝－2，m＝22，所以a＝±2.（3）设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝（10－m－2m2）i，所以3m2－a2m－1＝0，10－m－2m2＝0，解得a＝11或－715.变式训练3、已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.解：由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），所以a2－3a－1＝3，a2－5a－6＝0，即a＝4或a＝－1，a＝6或a＝－1，所以a＝－1.考点四、复数与复平面内的点例4、已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值（或取值范围）.（1）在实轴上；（2）在第三象限.【解】（1）若对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝12.（2）若z对应的点在第三象限，则有a2－10，2a－10.解得－1a12.故a的取值范围是－1，12.变式训练4、求实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点（1）位于第二象限；（2）位于直线y＝x上.解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋（a2－3a＋2）i的点就是点Z（a2＋a－2，a2－3a＋2）.（1）由点Z位于第二象限，得a2＋a－20，a2－3a＋20，解得－2a1.故满足条件的实数a的取值范围为（－2，1）.（2）由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.考点五、复数与复平面内的向量例5、（1）已知M（1，3），N（4，－1），P（0，2），Q（－4，0），O为复平面的原点，试写出OM→，ON→，OP→，OQ→所表示的复数；（2）已知复数1，－1＋2i，－3i，6－7i，在复平面内画出这些复数对应的向量；（3）在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.【解】（1）OM→表示的复数为1＋3i；ON→表示的复数为4－i；OP→表示的复数为2i；OQ→表示的复数为－4.（2）复数1对应的向量为OA→，其中A（1，0）；复数－1＋2i对应的向量为OB→，其中B（－1，2）；复数－3i对应的向量为OC→，其中C（0，－3）；复数6－7i对应的向量为OD→，其中D（6，－7）.如图所示.（3）记O为复平面的原点，由题意得OA→＝（2，3），OB→＝（3，2），OC→＝（－2，－3）.设OD→＝（x，y），则AD→＝（x－2，y－3），BC→＝（－5，－5）.由题知，AD→＝BC→，所以x－2＝－5，y－3＝－5，即x＝－3，y＝－2，故点D对应的复数为－3－2i.变式训练5、在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是_____________.解析：3－3i对应向量为（3，－3），与x轴正半轴夹角为30°，顺时针旋转60°后所得向量终点在y轴负半轴上，且模为23.故所得向量对应的复数是－23i.答案：－23i考点六、复数的模例6、（1）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（）A.1B.2C.3D.2（2）已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.【解】（1）选B.因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，所以|x＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2.（2）法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则|z|＝a2＋b2，代入原方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，根据复数相等的充要条件，得a＋a2＋b2＝2，b＝8，解得a＝－15，b＝8.所以z＝－15＋8i.法二：由原方程得z＝2－|z|＋8i（*）.因为|z|∈R，所以2－|z|为z的实部，故|z|＝（2－|z|）2＋82，即|z|2＝4－4|z|＋|z|2＋64，得|z|＝17.将|z|＝17代入（*）式得z＝－15＋8i.变式训练6、已知复数z＝3＋ai（a∈R），且|z|4，求实数a的取值范围.解：法一：因为z＝3＋ai（a∈R），所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a242，所以a27，所以a∈（－7，7）.法二：由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB（除去端点）为动点Z（3，a）的集合，由图可知－7a7.三、课后练习1.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2C.0D.1解析:由复数相等的充要条件知,x+y＝０，ｘ－１＝０故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D2.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B3.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号)____________.解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为()A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i解析:A中|z|=3;B中对应点(2,-3)在第四象限;C中对应点(3,2)在第一象限;D中对应点(-3,-2)在第三象限,|z|=3.答案:D5.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析:∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆,故选A.答案:A6.已知在△ABC中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.解析:因为对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3).又=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i7.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.答案:(1)若复数z的对应点在虚轴上,则m2-m-2=0,所以m=-1或m=2.此时z=6i或z=0.(2)若复数z的对应点在实轴负半轴上,则m2-3m+2=0，m2-m-20,∴m=1能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.解析:∵z为虚数,∴m-sinθ-cosθ≠0,即m≠sinθ+cosθ.∵sinθ+cosθ∈[-2,2],∴m∈(-∞,-2)∪(2,+∞).答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.解析:若复数为纯虚数,则有a2-a-2=0,