搜索
2017-2018学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下面图形分别表示低碳、节水、节能和绿色食品四个标志，其中的轴对称图形是()A.B.C.D.2.下列各运算中，计算正确的是()A.(𝑥−2)2=𝑥2−4B.(3𝑎2)3=9𝑎6C.𝑥6÷𝑥2=𝑥3D.𝑥3⋅𝑥2=𝑥53.用科学记数法表示0.0000084为()A.8.4×10−6B.8.4×10−5C.−8.4×10−6D.8.4×1064.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于()A.120∘B.105∘C.60∘D.45∘5.三角形中，到三个顶点距离相等的点是()A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点6.如图，从边长为(𝑎+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是()A.𝑎+3B.𝑎+6C.2𝑎+3D.2𝑎+67.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=32∘，∠𝐵𝐴𝐶的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠𝐶的度数为()A.90∘B.84∘C.64∘D.58∘8.若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为56∘，则该等腰三角形的顶角的度数为()A.56∘B.34∘C.34∘或146∘D.56∘或34∘第2页，共15页9.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐵，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①𝐴𝐶⊥𝐵𝐷；②𝐴𝑂=𝐶𝑂=12𝐴𝐶；③△𝐴𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷；④四边形ABCD的面积=12𝐴𝐶×𝐵𝐷其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐵𝐷，则∠𝐴𝐷𝐶的大小为()A.120∘B.135∘C.145∘D.150∘11.如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=()A.330∘B.315∘C.310∘D.320∘12.把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：(2)，(4,6，8)，(10,12，14，16，18)，(20,22，24，26，28，30，32)，…，现用等式𝐴𝑀=(𝑖,𝑗)表示正偶数M是第i组第j个数(从左往右数)，如𝐴8=(2,3)，则𝐴2018=()A.(32,25)B.(32,48)C.(45,39)D.(45,77)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=2：3：5，这个三角形为______三角形(按角分类)14.已知𝑎−𝑏=5，𝑎𝑏=−4，则𝑎2+𝑏2=______．15.如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使𝐶𝐷=𝐵𝐶，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△𝐸𝐷𝐶≌△𝐴𝐵𝐶，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△𝐸𝐷𝐶≌△𝐴𝐵𝐶的理由是______．16.如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12𝑀𝑁的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若𝐶𝐷=4，𝐴𝐵=15，则△𝐴𝐵𝐷的面积是______．17.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是{𝑥+4𝑦=23.3𝑥+2𝑦=19.类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为______．18.如图，下列4个三角形中，均有𝐴𝐵=𝐴𝐶，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是______(填序号)．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.化简：[(𝑥𝑦+2)(𝑥𝑦−2)−2𝑥2𝑦2+4]÷𝑥𝑦，其中𝑥=10，𝑦=−125四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）20.解二元一次方程组：{𝑥−3𝑦=45𝑥+𝑦=2．21.如图，𝐸𝐵//𝐷𝐶，∠𝐶=∠𝐸，请证明∠𝐴=∠𝐸𝐷𝐴．第4页，共15页22.已知：如图，∠𝐷𝐶𝐸=90∘，𝐶𝐷=𝐶𝐸，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶于A，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于B．求证：𝐴𝐵+𝐴𝐷=𝐵𝐸．23.为了响应市委和市政府“绿色环保，节能减排”的号召，幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只，很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表：进价(元/只)售价(元/只)甲种节能灯3040甲种节能灯3550(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只？(2)全部售完100只节能灯后，商场共计获利多少元？24.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与△𝐴𝐵𝐶关于直线L成轴对称的△𝐴′𝐵′𝐶′；(2)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(3)在直线L上找一点𝑃(在答题纸上图中标出)，使𝑃𝐵+𝑃𝐶的长最小．25.如图所示，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点D，E分别在边BC，AC上，且𝐷𝐸//𝐴𝐵，过点E作𝐸𝐹⊥𝐷𝐸，交BC的延长线于点F．(1)求∠𝐹的大小；(2)若𝐶𝐷=3，求DF的长．26.如图1，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，AD、BE相交于点M，连接CM．(1)求证：𝐵𝐸=𝐴𝐷；(2)求∠𝐴𝑀𝐵的度数(用含𝛼的式子表示)；(3)如图2，当𝛼=90∘时，点P、Q分别为AD、BE的中点，分别连接CP、CQ、PQ，判断△𝐶𝑃𝑄的形状，并加以证明．第6页，共15页27.如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=12，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的运度为每秒2个单位长度.当点M第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁？(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△𝐴𝑀𝑁？如存在，请求出此时M、N运动的时间．答案和解析【答案】1.D2.D3.A4.B5.D6.B7.B8.C9.D10.D11.B12.B13.直角14.1715.ASA16.3017.{4𝑥+3𝑦=272𝑥+𝑦=1118.②19.解：[(𝑥𝑦+2)(𝑥𝑦−2)−2𝑥2𝑦2+4]÷𝑥𝑦=(𝑥2𝑦2−4−2𝑥2𝑦2+4)÷𝑥𝑦=−𝑥2𝑦2÷𝑥𝑦=−𝑥𝑦，当𝑥=10,𝑦=−125时，原式=−𝑥𝑦=−10×(−125)=25．20.解：{𝑥−3𝑦=4 ②5𝑥+𝑦=2 ①，由①×3+②得：16𝑥=10，解得𝑥=58，③把③代入②解得：𝑦=−98．故原方程组的解是：{𝑥=58𝑦=−98．21.证明：∵𝐸𝐵//𝐷𝐶，∴∠𝐶=∠𝐴𝐵𝐸(两直线平行，同位角相等)，∵∠𝐶=∠𝐸，∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸，∴𝐴𝐶//𝐷𝐸(内错角相等，两直线平行)，∴∠𝐴=∠𝐴𝐷𝐸．22.证明：∵∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐷𝐶𝐴=90∘，∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐷=90∘，∴∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷，在△𝐸𝐶𝐵和△𝐶𝐷𝐴中，{∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐷𝐸𝐵𝐶=∠𝐴=90∘𝐶𝐸=𝐶𝐷，∴△𝐸𝐶𝐵≌△𝐶𝐷𝐴(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，𝐵𝐸=𝐴𝐶，∴𝐴𝐷+𝐴𝐵=𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐶=𝐵𝐸．23.解：(1)设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意得：{𝑥+𝑦=10030𝑥+35𝑦=3300，解得：{𝑦=60𝑥=40．第8页，共15页答：商场购进甲种节能灯40只，购进乙种节能灯60只．(2)40×(40−30)+60×(50−35)=1300(元)．答：商场共计获利1300元．24.解：(1)如图所示：(2)△𝐴𝐵𝐶的面积=2×4−2×2×12−2×1×12−1×4×12=3；(3)如图所示，点P即为所求．25.解：(1)∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，∴∠𝐵=60∘，∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐵=60∘，∵𝐸𝐹⊥𝐷𝐸，∴∠𝐷𝐸𝐹=90∘，∴∠𝐹=90∘−∠𝐸𝐷𝐶=30∘；(2)∵∠𝐴𝐶𝐵=60∘，∠𝐸𝐷𝐶=60∘，∴△𝐸𝐷𝐶是等边三角形．∴𝐸𝐷=𝐷𝐶=3，∵∠𝐷𝐸𝐹=90∘，∠𝐹=30∘，∴𝐷𝐹=2𝐷𝐸=6．26.解：(1)如图1，∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=𝛼，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸，在△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐸中，{𝐶𝐴=𝐶𝐵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸𝐶𝐷=𝐶𝐸，∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)∴𝐵𝐸=𝐴𝐷；(2)如图1，∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐶𝐵𝐸，∵△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐶=180∘−𝛼，∴∠𝐵𝐴𝑀+∠𝐴𝐵𝑀=180∘−𝛼，∴△𝐴𝐵𝑀中，∠𝐴𝑀𝐵=180∘−(180∘−𝛼)=𝛼；(3)△𝐶𝑃𝑄为等腰直角三角形．证明：如图2，由(1)可得，𝐵𝐸=𝐴𝐷，∵𝐴𝐷，BE的中点分别为点P、Q，∴𝐴𝑃=𝐵𝑄，∵△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸，∴∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝑄，在△𝐴𝐶𝑃和△𝐵𝐶𝑄中，{𝐶𝐴=𝐶𝐵∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐵𝑄𝐴𝑃=𝐵𝑄，∴△𝐴𝐶𝑃≌△𝐵𝐶𝑄(𝑆𝐴𝑆)，∴𝐶𝑃=𝐶𝑄，且∠𝐴𝐶𝑃=∠𝐵𝐶𝑄，又∵∠𝐴𝐶𝑃+∠𝑃𝐶𝐵=90∘，∴∠𝐵𝐶𝑄+∠𝑃𝐶𝐵=90∘，∴∠𝑃𝐶𝑄=90∘，∴△𝐶𝑃𝑄为等腰直角三角形．27.解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，𝑥×1+12=2𝑥，解得：𝑥=12；∴点M、N运动12秒后，M、N两点重合．(2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁，如图①𝐴𝑀=𝑡×1=𝑡，𝐴𝑁=𝐴𝐵−𝐵𝑁=12−2𝑡，∵三角形△𝐴𝑀𝑁是等边三角形，∴𝑡=12−2𝑡，解得𝑡=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△𝐴𝑀𝑁．(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，∴𝐴𝑁=𝐴𝑀，∴∠𝐴𝑀𝑁=∠𝐴𝑁𝑀，∴∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶，∴△𝐴𝐶𝐵是等边三角形，∴∠𝐶=∠𝐵，第10页，共15页在△𝐴𝐶𝑀和△𝐴𝐵𝑁中，∵{𝐴𝐶=𝐴𝐵∠𝐶=∠𝐵∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐴𝑁𝐵，∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐴𝐵𝑁，∴𝐶𝑀=𝐵𝑁，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△𝐴𝑀𝑁是等腰三角形，∴𝐶𝑀=𝑦−12，𝑁𝐵=36−2𝑦，𝐶𝑀=𝑁𝐵，𝑦−12=36−2𝑦，解得：𝑦=16.故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三