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专题一集合与常用逻辑用语目录CONTENTS考点一集合的概念与运算1考点二常用逻辑用语2考点一集合的概念与运算必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点一集合的概念与运算1．集合的定义一般地，确定的某些对象的全体称为集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．其中常用数集的记法如下：必备知识全面把握集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR构成集合的对象必须是确定的，即构成集合的对象具有明确的特征，不能是模棱两可的，例如:“个子较高的男同学”标准不明确，故“个子较高的男同学”不能构成集合．给定集合中的元素必须是互异的，例如：方程(x－1)(x－2)2＝0的解集表示为{1，2}，而不是{1，2，2}．2.集合元素的性质(1)确定性：任何一个对象，都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素是互不相同的.(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的.考点一集合的概念与运算3．元素与集合的关系一个对象与一个集合的关系有“属于”和“不属于”两种．若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点一集合的概念与运算4．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内．列举时不必考虑元素间的顺序，元素不得重复，元素之间用“，”隔开．(2)描述法：描述法就是要把集合中元素的公共属性描述出来，其常用形式为，它表示使命题p(x)为真的A中元素的集合，x表示元素的一般形式，p(x)表示元素具有的公共属性．考点一集合的概念与运算使用描述法时，需注意集合中的代表元素．如P＝{y＝x2＋1}的元素是一个二次函数，Q＝{y|y＝x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1的值域，E＝{x|y＝x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1的定义域，F＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1图像上的点，G＝{x|x≥1}表示大于等于1的数集．5．集合的分类按元素个数分为有限集和无限集.(3)图示法(Venn图法)：用一条封闭曲线的内部来表示一个集合．0，{0}，∅，{∅}的区别与关系(1)0是一个数字，不是集合；{0}，∅，{∅}是集合，其中{0}是含一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，不能理解为∅＝{0}或∅∈{0}，{∅}是以∅为元素的集合．(2)四者之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅}，0∈{0}，∅⊆{0}．考点一集合的概念与运算6．空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．7．集合间的基本关系考点一集合的概念与运算考点一集合的概念与运算7．集合间的基本关系集合间基本关系的常见结论(1)空集(∅)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A，空集的子集只有一个，即它本身；(3)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A⊆B，则有A＝∅或A≠∅两种情况；(4)含有n个元素的集合有，其中有2n个子集，其中有2n-1个真子集，2n-1个非空子集，有2n-2个非空真子集.8．集合的基本运算考点一集合的概念与运算方法1元素与集合间的关系题型解法研究一个集合，要弄清楚集合中的代表元素．(1)用描述法表示集合时，先要注意弄清楚其元素表示的意义，如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制条件(性质)，最后根据元素的互异性，确定集合中的元素．(2)用列举法表示集合时，要注意集合中元素的互异性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性，从而确定集合中的元素．核核心方法心方法重点突破核心方法重点突破考点一集合的概念与运算例1已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10考点一集合的概念与运算【解析】方法一(列表法)：因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1，2，3，4，5，故x，y及x－y的取值如右表所示：由题意x－y∈A，故x－y只能取1，2，3，4，由表可知实数对(x，y)的取值中满足条件的共有10个，即B中元素的个数为10.故选D.yx－yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210例1已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10考点一集合的概念与运算【解析】方法二(直接法)：因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数．若x－y∈A，则有x－y＞0，得x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．故选D.方法三：因为A中元素均为正整数，所以从A中任取两个元素x，y，满足x＞y的(x，y)即为集合B中的元素，故共有C52＝10(个)．故选D.D方法2集合间的基本关系题型解法1.子集个数的求解方法(1)列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数．适用于集合元素较少的情况．(2)公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集个数是2n－1，非空真子集个数是2n－2.考点一集合的概念与运算例2[广东佛山2019届模拟]已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为()A．3B．4C．7D．8考点一集合的概念与运算1.子集个数的求解方法【解析】∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0，1，2}，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}，∴A∩B的子集个数为23＝8，故选D.D2．判断集合之间关系的方法(1)化简集合，从表达式中判断两集合间的关系.(2)用列举法表示集合，从元素中判断两集合间的关系．(3)利用数轴，在数轴上表示出两集合，比较端点之间的大小关系，从而判断两集合间的关系．考点一集合的概念与运算考点一集合的概念与运算例3[湖南长郡中学2019届模拟]已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y=（)x，x∈R}，则()A．M＝NB．N⊆MC．M＝∁RND．(∁RN)∩M＝∅212．判断集合之间关系的方法C【解析】由题意得y＝x－|x|＝∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.方法3集合的基本运算问题解集合运算问题时应注意以下三点：(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，明确集合中元素的特点；(3)注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴、坐标系和Venn图等．考点一集合的概念与运算例4[湖南、湖北八市十二校2019届联考]已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝{x∈R||x|3}，则P∪Q＝()A．[3，4]B．(－3，4]C．(－∞，4]D．(－3，＋∞)考点一集合的概念与运算方法3集合的基本运算问题【解析】∵Q＝{x∈R||x|3}＝(－3，3)，P＝[0，4]，∴P∪Q＝(－3，4]，故选B.B方法4集合的参数问题1．利用集合中元素的性质求参数的值或取值范围(1)确定性的应用：利用集合中元素的确定性求出参数的所有取值；(2)互异性的应用：根据集合中元素的互异性对求得参数的值进行验证．考点一集合的概念与运算例5设集合P＝{x－y，x＋y，xy}，Q＝{x2＋y2，x2－y2，0}，若P＝Q，求x，y的值及集合P，Q.考点一集合的概念与运算1．利用集合中元素的性质求参数的值或取值范围【解】∵P＝Q且0∈Q，∴0∈P.若x＋y＝0或x－y＝0，则x2－y2＝0，从而有Q＝{x2＋y2，0，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0.∴xy＝0，则x＝0或y＝0.当y＝0时，P＝{x，x，0}，与集合中元素的互异性矛盾，∴y≠0，∴x＝0.此时P＝{－y，y，0}，Q＝{y2，－y2，0}．由①得y＝－1，由②得y＝1，∴此时P＝Q＝{1，－1，0}．2．利用集合间的关系求参数的值或取值范围(1)若未指明集合非空，则应考虑空集的情况，即两种情况，需要分类讨论；此外，集合中含有参变量时，求得结果后还需要利用元素的互异性进行检验．(2)集合是连续数集的问题可以利用数轴求解，注意数形结合和分类讨论思想的运用．考点一集合的概念与运算【解析】当B＝∅时，2aa＋3，即a3.当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得解得a－4或2a≤3.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．考点一集合的概念与运算例6已知集合A＝{x|x－1或x4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，则实数a的取值范围为________．2．利用集合间的关系求参数的值或取值范围(－∞，－4)∪(2，＋∞)方法5Venn图法利用Venn图表示集合，在解决集合与集合之间关系时多数情况下比直接用定义更为直观、有效.考点一集合的概念与运算【解】依题意易知报名参加A，B两组的人数分别为30，33.如图，设报名参加A，B两项课外学科小组的学生分别组成集合A，B，A∩B的元素有x个，则由图知(30－x)＋x＋(33－x)＋＝50，可得x＝21，x＋1＝8.所以同时报名参加A，B两组的人数为21，两组都没有报名的人数为8.考点一集合的概念与运算例750名学生报名参加A，B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数比同时报名参加两组的人数的三分之一多1，求同时报名参加A，B两组的人数和两组都没有报名的人数.考法1元素与集合间的关系例1[课标全国Ⅲ2017·1]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0考法例析成就能力考点一集合的概念与运算【解析】方法一：由题意知，集合A表示以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1，集合B表示直线y＝x.单位圆x2＋y2＝1与直线y＝x有两个交点，故选B.考法1元素与集合间的关系例1[课标全国Ⅲ2017·1]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为()A．3B．2C．1D．0考法例析成就能力考点一集合的概念与运算【解析】B考法2集合的运算例2[课标全国Ⅰ2018·2]已知集合A＝{x|x2－x－20}，则∁RA＝()A．{x|－1x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x－1}∪{x|x2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}考点一集合的概念与运算【解析】由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2，∴A＝{x|x－1或x2}．借助数轴，得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.B例3[课标全国Ⅰ2017·1]已知集合A＝{x|x1}，B＝{x|3x1}，则()A．A∩B＝{x|x0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x1}D．A∩B＝∅考点一集合的概念与运算【解析】由3x1知x0，则B＝{x|x0}．又因为A＝{x|x1}，所以A∩B＝{x|x0}．故选A.A考法2集合的运算考法3集合中的参数问题例4[课标全国Ⅱ2017·2]设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}考点一集合的概念与运算【解析】∵A∩B＝{1}，∴1∈B，则12－4×1＋m＝0，∴m＝3.方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3，∴B＝{1，3}，故选C.C考点二常用逻辑用语必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点二常用逻辑用语1．命题的定义可以判断真假的语句叫做命题．注意：语句是不是命题，关键在于能不能判断真假，也