现代控制理论试题及答案--研究生现代控制工程试卷

现代控制理论试题及答案一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。解fma……………………………….……1分令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有122ukxkxmx………………………………2分于是有12xx………………………………..……………1分2121khxxxummm……….….……………….2分再令位移为系统的输出y，有1yx…………………………….……….1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有11220101xxukhxxmmm………..……………..2分1210xyx……………………..……….……….2分二、（8分）矩阵A是22的常数矩阵，关于系统的状态方程式xAx，有1(0)1x时，22tteex；2(0)1x时，2tteex。试确定状态转移矩阵(,0)t和矩阵A。解因为系统的零输入响应是(,0)(0)ttxx……………..……….……….2分所以221(,0)1ttete，22(,0)1ttete将它们综合起来，得22122(,0)11tttteetee……………….……….2分122222222122(,0)11122112222tttttttttttttttteeteeeeeeeeeeeeee…………….……….2分而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)tt满足微分方程00,,dttttdtA和初始条件00,ttI因此代入初始时间00t可得矩阵A为：0100022220(,)(,)222424tttttttttttdttttdteeeeeeeeA…………….……….1分0213…………………………………….……….1分三、（10分）（1）设系统为011,(0)011attutxbxx试求出在输入为(0)utt时系统的状态响应（7分）。(2)已知系统011,11341uyxxx，写出其对偶系统（3分）。解（1）00atbtete……………………………..…….……..1分0()(0)()dτttttuxxB……….….……….……..2分01010dτ1100atattbtbteetee….……..1分0dτatattbtbteeee.……….…………………..…..1分111=111atatbtbteteaaaetebbb…………………………..…..2分（2）031141uxx………….….……….……..2分11yx……….………………...……….……..1分四、（10分）（1）求系统111222102,11121xxxuyxxx的传递函数()gs.（5分）(2)求系统110102110111uxx的能控标准型（可以不求变换矩阵）。（5分）解(1)由状态空间表达式得到传递函数的公式为：1()()gscsIAb……….……….…………….1分由1012ssIAs…………...………………..1分得1101()11(1)(2)2ssIAsss………..………….1分于是21021()11111(1)(2)2333322sgssssssss…………..2分（2）110021011ssIAss………...……………….1分2(1)(1)sss…...………………………1分3221sssss…………..……………1分321ss……………………………………1分从而知能控标准型为010000101201uxx…………………………1分五、(10分）（1）利用Lyapunov第一方法判断系统平衡点0x的稳定性（5分）：111222124sin331xxxxxxxex（2）取QI，通过求解Lyapunov方程判断系统平衡点0x的稳定性（5分）：1153xx解（1）120114cos33xxxAe…………………………….2分1323……………………………………………….1分A的特征值为25，具有正实部…………………………..1分所以系统在平衡点0x不稳定……………………...……….1分（2）令abPbc0TAPPAQ………………………………………….1分210102502610abbcabc…………………………………………….1分4.5110.5P…………………………………………..….2分4.50,1.250P，P正定，大范围一致渐近稳定….1分